[論文レビュー] On the existence of holomorphic embeddings of strictly pseudoconvex algebraic hypersurfaces into spheres

Peter Ebenfelt, Duong Ngoc Son|arXiv (Cornell University)|May 6, 2012

Holomorphic and Operator Theory参考文献 21被引用数 10

ひとこと要約

本稿は、任意の $N$ に対して $ olimits\mathbb{C}^{N+1}$ 内の任意の球へ、あるいは任意のコンパクトで厳密に擬強凸な実代数的超曲面へ、局所的かつ正則的に埋め込めない、$ olimits\mathbb{C}^{n+1}$ 内に存在する厳密に擬強凸で実代数的超曲面の存在を確立する。構成法は、原点に唯一の非厳密に擬強凸な点を持つコンパクトで実代数的超曲面を用い、その点で3-非退化であることが示され、CR幾何学と擬・サブハーモニック解析を用いて非定数正則写像の障害を生じさせる。

ABSTRACT

We show that there are strictly pseudoconvex, real algebraic hypersurfaces in $\bC^{n+1}$ that cannot be locally embedded into a sphere in $\bC^{N+1}$ for any $N$. In fact, we show that there are strictly pseudoconvex, real algebraic hypersurfaces in $\bC^{n+1}$ that cannot be locally embedded into any compact, strictly pseudoconvex, real algebraic hypersurface.

研究の動機と目的

• すべての $ olimits\mathbb{C}^{n+1}$ 内の厳密に擬強凸で実代数的超曲面が、ある $ olimits\mathbb{C}^{N+1}$ 内の球へ局所的正則埋め込み可能かどうかという未解決問題を解消すること。
• 任意のコンパクトで厳密に擬強凸で実代数的超曲面へ非定数正則写像を許さない、そのような超曲面の具体的な例を構成すること。
• 非構成的手段に代えて、代数的幾何学的手法を用いた構成的で明示的な埋め込み障害を提供すること。
• 局所埋め込み障害の理解を、Levi 非退化の場合に限らない、厳密に擬強凸な設定へ拡張すること。

提案手法

• 厳密に擬・サブハーモニックな多項式 $\rho = -\text{Im}\,w + P$ の零点集合として、$ olimits\mathbb{C}^{n+1}$ 内の実代数的超曲面 $M \subset \mathbb{C}^{n+1}$ を構成し、ここで $P$ は次数4の同次多項式で、大きな正のパrameter $R$ を持つ。
• 超曲面 $M$ が原点を除いてコンパクトで厳密に擬強凸であり、原点では弱く擬強凸だが3-非退化であることを示す。
• CRベクトル場 $L_j = \partial/\partial\bar{z}_j - 2i P_{\bar{z}_j} \partial/\partial\bar{w}$ を用いて、Levi 形式の高階導関数を計算し、原点における3-非退化性を検証する。
• 線形分数変換 $\Phi$ を用いて、$M \setminus \{(0,0)\}$ を $ olimits\mathbb{C}^{n+1}$ 内の閉じた、厳密に擬強凸で実代数的超曲面 $\hat{M}$ へ写像し、非定数写像の障害を保存する。
• 任意の $\hat{M}$ からコンパクトで厳密に擬強凸で実代数的超曲面への正則写像は、$M$ へ延長可能であり、原点での非退化性により定数写像でなければならないことを利用する。
• 実代数的超曲面への正則写像の代数的性質を用いて、多価でも全域的延長が可能であることを保証し、非定数写像の矛盾を導く。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意の $ olimits\mathbb{C}^{n+1}$ 内の厳密に擬強凸で実代数的超曲面は、ある $N$ に対して $ olimits\mathbb{C}^{N+1}$ 内の球へ局所的正則埋め込み可能か？
• RQ2 任意のコンパクトで厳密に擬強凸で実代数的超曲面へ非自明に写像可能な、厳密に擬強凸で実代数的超曲面は存在するか？
• RQ3 埋め込み障害を代数的および擬・サブハーモニック的手法を用いて明示的に構成可能か？
• RQ4 $\nolimits\mathbb{C}^{n+1}$ 内に、任意の球へ非定数正則写像を許さないコンパクトで厳密に擬強凸で実代数的超曲面は存在するか？

主な発見

• 任意の $N$ に対して、$ olimits\mathbb{C}^{N+1}$ 内の任意のコンパクトで厳密に擬強凸で実代数的超曲面へ非定数正則写像を許さない、コンパクトで厳密に擬強凸で実代数的超曲面が存在する。その超曲面は、原点で3-非退化である。
• 構成された超曲面 $M$ は原点を除いてすべての点で厳密に擬強凸であり、原点では弱く擬強凸だが3-非退化である。この性質が非定数正則写像の障害を生じる。
• 変換 $\Phi$ は $M \setminus \{(0,0)\}$ を $ olimits\mathbb{C}^{n+1}$ 内の閉じた、厳密に擬強凸で実代数的超曲面 $\hat{M}$ へ写像し、その非埋め込み性を引き継ぐ。
• 任意の $\hat{M}$ から $ olimits\mathbb{C}^{N+1}$ 内の球への局所正則写像は、$M$ の原点における障害により定数写像に限られる。
• 本結果は、非構成的証明に代わる、構成的で代数的な反例を提供し、球への普遍的局所埋め込み可能性に対する反例を示している。
• 障害は原点における3-非退化性に起因し、任意のコンパクトで厳密に擬強凸で実代数的超曲面への非定数正則写像の存在を阻止する。