[論文レビュー] On the Existence of the MLE for a Directed Random Graph Network Model with Reciprocation

A. Rinaldo, Sonja Petrović+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 5, 2010

Complex Network Analysis Techniques参考文献 25被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、相 reciprocal を持つ有向ネットワークの Holland-Leinhardt $p_1$ モデルにおける最尤推定量（MLE）の存在に関する明示的な幾何的条件を確立する。代数的統計学と多面体幾何学を用いて、観測されたネットワークデータに特定のエッジ構成におけるゼロパターンが現れ、モデルの十分統計量の正性制約を破る場合、MLE が存在しなくなることが同定される。特に、行または列のマージンがゼロでないにもかかわらず、モデルの指数型族の錐の相対的内部に位置しないパターンが、MLE の非存在を引き起こす。

ABSTRACT

Holland and Leinhardt (1981) proposed a directed random graph model, the p1 model, to describe dyadic interactions in a social network. In previous work (Petrovic et al., 2010), we studied the algebraic properties of the p1 model and showed that it is a toric model specified by a multi-homogeneous ideal. We conducted an extensive study of the Markov bases for p1 that incorporate explicitly the constraint arising from multi-homogeneity. Here we consider the properties of the corresponding toric variety and relate them to the conditions for the existence of the maximum likelihood and extended maximum likelihood estimators or the model parameters. Our results are directly relevant to the estimation and conditional goodness-of-fit testing problems in p1 models.

研究の動機と目的

• 有向ネットワークにおける reciprocation を伴う $p_1$ モデルの最尤推定量（MLE）の存在の問題を、長年の未解決問題として解消すること。
• トーリック多様体と鋭錐を用いて、$p_1$ モデルの指数型族の幾何的構造を特徴づけること。
• 行・列マージンがゼロでない場合でも MLE が存在しなくなるような、観測ネットワークデータにおける特定のゼロパターンを同定すること。
• 設計行列とその関連する錐構造に基づいて、MLE 非存在の検出に向けたアルゴリズム的基準を提供すること。
• この $p_1$ モデルにおける MLE 存在問題を、準独立性モデルや Rasch モデルと類似した問題と結びつけ、共通の組合せ的構造を明らかにすること。

提案手法

• 著者らは、$p_1$ ネットワークをトーリック指数型族としてモデル化し、その十分統計量の多重同次構造を用いてトーリック多様体を定義する。
• モデルの設計行列 $A$ を分析し、マージンエッジカウントを支配するパrameter $\alpha_i$ と $\beta_j$ に対応する部分行列 $B$ を特定する。
• 多面体幾何学を用いて鋭錐 $\mathrm{cone}(B)$ を研究し、MLE の存在が観測データがこの錐の相対的内部にあるかどうかに依存することを示す。
• MLE 非存在の3つの異なるケースを同定する：(1) 全ての行または列マージンが 0 または $n-1$ である場合、(2) マージンでは捉えきれないゼロパターンである場合、(3) 組合せ的に複雑なゼロパターンで、依然として正性を破る場合。
• 小規模なネットワーク（$n \leq 10$）に対して計算代数ソフトウェア（polymake）を用いて分析し、$\mathrm{cone}(B)$ の facet 構造に関する予想を導出する。この予想では、$\mathrm{cone}(B)$ は $3n$ 個の facet を持つとされ、そのうち $2n$ 個はゼロマージンに対応し、残りの $n$ 個は非自明なゼロパターンに対応する。
• モデルのマーキョフ基底は $B$ の構造と関連づけられ、適合度検定や MLE 存在のチェックにおけるアルゴリズム的改善が可能になる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有向ネットワークにおける reciprocation を伴う $p_1$ モデルにおいて、最尤推定量（MLE）が存在しなくなる条件は何か？
• RQ2 観測されたネットワーク隣接行列における特定のゼロパターンが、行・列マージンとは独立して MLE の存在にどのように影響を与えるか？
• RQ3 $p_1$ モデルの指数型族の幾何的構造は何か？ また、MLE の存在とはどのように関係するか？
• RQ4 すべての行・列和が正であり、かつ $n-1$ より小さい状況でも、MLE が存在しなくなるような、エッジのゼロの組合せ的パターンは存在するか？
• RQ5 $p_1$ モデルにおける MLE 存在問題は、準独立性モデルや Rasch モデルといった連続表モデルの既知の問題と結びつけることができるか？

主な発見

• MLE が存在しないのは、観測データに、モデルの十分統計量空間内に正のベクトルが存在できないようなゼロエントリを含む構成がある場合であり、行・列マージンがゼロでない場合でも成立する。
• $n=3$ の場合、MLE 非存在は $\left[\begin{smallmatrix} \times & 0 & \cdot \\ 0 & \times & \cdot \\ \cdot & \cdot & \times \end{smallmatrix}\right]$ のような特定のゼロパターンによって生じ、これはゼロまたは最大マージンに対応しない。
• $n=4$ の場合、4つの異なるゼロパターンが、すべてのマージンが正であり 3 より小さいにもかかわらず MLE 非存在を引き起こす。これは非自明な組合せ的障害を示している。
• 著者らは、錐 $\mathrm{cone}(B)$ が正確に $3n$ 個の facet を持つと予想している。そのうち $2n$ 個はゼロ行・列マージンに対応し、残りの $n$ 個は非自明なゼロパターンに対応するが、これらも依然として MLE の非存在を引き起こす。
• これらの非自明なゼロパターンは、$2 \times 2$ 連続表における準独立性モデルと、同等のアイテム数と被験者数を持つ Rasch モデルで MLE 非存在を引き起こすパターンと同型である。
• $\alpha_i$ と $\beta_j$ パラメータを捉える行列 $B$ は、モデルのマーキョフ基底と MLE 存在の条件を決定する上で中心的な役割を果たすことが示された。