[论文解读] On the existence of $W^{1,2}_{p}$ solutions for fully nonlinear parabolic equations under either relaxed or no convexity assumptions

Н. В. Крылов|arXiv (Cornell University)|May 5, 2017

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 10被引用 9

一句话总结

该论文在不假设哈密顿量关于海森矩阵的凸性或凹性条件下，建立了完全非线性抛物方程在 $W^{1,2}_p$ 空间中的解的存在性。通过在 $|D^2v|$ 较大时采用松弛凸性与 VMO 型条件，并在 $|D^2v|$ 有界时采用椭圆性条件，作者在最小结构假设下证明了先验估计与解的存在性，将先前结果推广至非凸情形。

ABSTRACT

We establish the existence of solutions of fully nonlinear parabolic second-order equations like $\partial_{t}u+H(v,Dv,D^{2}v,t,x)=0$ in smooth cylinders without requiring $H$ to be convex or concave with respect to the second-order derivatives. Apart from ellipticity nothing is required of $H$ at points at which $|D^{2}v|\leq K$, where $K$ is any fixed constant. For large $|D^{2}v|$ some kind of relaxed convexity assumption with respect to $D^{2}v$ mixed with a VMO condition with respect to $t,x$ are still imposed. The solutions are sought in Sobolev classes. We also establish the solvability without almost any conditions on $H$, apart from ellipticity, but of a "cut-off" version of the equation $\partial_{t}u+H(v,Dv,D^{2}v,t,x)=0$.

研究动机与目标

• 在哈密顿量关于 $D^2v$ 既非凸也非凹时，建立完全非线性抛物方程在 $W^{1,2}_p$ 空间中解的存在性。
• 放松或消除哈密顿量 $H$ 关于二阶导数的凸性假设。
• 在仅需椭圆性与大 $|D^2v|$ 下的松弛凸性-VMO 条件的最小结构假设下，证明 Sobolev 空间中的可解性。
• 将理论扩展至仅需椭圆性之外最小假设的方程的“截断”版本。
• 在不依赖粘性解理论或随机博弈的前提下，于 $W^{1,2}_p$ 框架中获得先验估计与存在性结果。

提出的方法

• 将哈密顿量分解为 $H = F + G$，其中 $F$ 满足松弛凸性条件，$G$ 以受控方式保持较小。
• 对 $F$ 在时间和空间变量上施加 VMO 型条件，确保在小抛物柱体内振荡受控。
• 在 $p > d+1$ 下使用 $W^{1,2}_p$ 中的先验估计，依赖弱反向哈泽尔不等式与精确函数技术。
• 通过使用光滑函数 $\eta_n$ 截断 $H(u', 0, t, x)$ 的截断过程，实现对一般 $g \in W^{1,2}_p$ 的逼近。
• 利用 $W^{1,2}_p$ 中的等度连续性与弱紧致性，取极限以获得解。
• 利用精确函数估计与极大函数技术控制导数的 $L^p$ 范数，依赖附录中的定理 7.1 与 7.2。

实验结果

研究问题

• RQ1 当 $H$ 关于 $D^2v$ 既非凸也非凹时，完全非线性抛物方程是否可能存在 $W^{1,2}_p$ 解？
• RQ2 对 $H$ 的何种结构假设足以在无凸性条件下确保 Sobolev 空间中的可解性？
• RQ3 在松弛凸性条件与 VMO 型条件结合下，是否可获得先验估计与存在性结果？
• RQ4 是否可能在仅需椭圆性之外最小假设的条件下，证明方程的‘截断’版本的可解性？
• RQ5 在缺乏凸性时，如何将理论扩展至粘性解框架之外？

主要发现

• 当 $p > d+2$ 时，方程 $\partial_t u + H(v, Dv, D^2v, t, x) = 0$ 在 $H$ 如 (1.2) 所述且满足零边界条件时，在 $W^{1,2}_p(\Pi)$ 中存在唯一解。
• 即使 $H$ 关于 $D^2v$ 既非凸也非凹，解依然存在，如示例 $H(D^2u, x) = \bar{G}(t,x) \wedge |D_{12}u| + \cdots + \Delta u - f(t,x)$ 所示。
• 先验估计 (1.5) 对 $p > d+1$ 成立，常数仅依赖于 $d, p, \delta, K_F, K_0$ 以及 $F$ 与 $g$ 的连续模。
• 该结果在逼近下具有鲁棒性：通过逼近与弱紧致性论证，对 $g \in W^{1,2}_p(\Pi)$ 存在解。
• 该方法避免依赖随机博弈或粘性解理论，为非凸方程提供了直接的 PDE 方法。
• 关键技术突破在于使用截断哈密顿量与精确函数估计，以控制振荡并实现无凸性条件下的 $L^p$ 估计。