[論文レビュー] Fully nonlinear elliptic and parabolic equations in weighted and mixed-norm Sobolev spaces

Hongjie Dong, Н. В. Крылов|arXiv (Cornell University)|May 31, 2018

Advanced Mathematical Physics Problems参考文献 15被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、空間変数に対する緩い凸性およびほぼVMO依存性の下で、全空間および半空間における完全非線形楕円型・放物型方程式に対して重み付きおよび混合ノルムSobolev評価を確立する。$A_p$-重みを用いた局所的Fefferman-Stein鋭い関数定理とRubio de Franciaの外挿法を用いることで、分割関数や明示的積分表現に依存せずに$W^{2,p}$型評価を導出しており、従来の結果を非線形および重み付き設定へと拡張する。

ABSTRACT

We prove weighted and mixed-norm Sobolev estimates for fully nonlinear elliptic and parabolic equations in the whole space under a relaxed convexity condition with almost VMO dependence on space-time variables. The corresponding interior and boundary estimates are also obtained.

研究の動機と目的

• 線形または連続係数の場合を越えて、完全非線形楕円型・放物型方程式に対する重み付きおよび混合ノルムSobolev評価を拡張すること。
• 新しい局所的Fefferman-Stein定理（$A_p$-重み付き）を用いて、分割関数に依存せず、空間時間変数に対する緩い凸性およびほぼVMO依存性の下で$W^{2,p}$型評価を確立すること。
• J. L. Rubio de Franciaの精神に則った一般化された外挿定理を用いて、全空間および半空間における混合ノルム評価を導出すること。
• 境界に依存する重み（距離関数のべきを含む）を有する重み付きSobolev空間における完全非線形方程式の内部および境界評価を提供すること。

提案手法

• 分割関数や明示的解表現に依存しない、$A_p$-重み付きの局所的Fefferman-Stein鋭い関数定理を用いる。
• 可測係数を有する方程式に対する$W^{2}_{ ho}$型評価およびEvans-Krylov定理に基づく平均振動評価を適用する。
• J. L. Rubio de Franciaのインスピレーションを受ける一般化された外挿定理（定理8.1）を用いて、$L^p$型有界性から混合ノルム評価を導出する。
• $A_p$-重み理論およびMuckenhouptの条件を用いて、楕円型および放物型設定の両方における非一様重みを扱う。
• 全空間および半空間の両領域に適用し、境界に依存する重み（距離関数のべき）を含む境界評価を扱う。
• 粘性解理論に依存し、$F$が$D^2u$に関してリプシッツ連続であり、$F(0,x)=0$を満たし、$x$に関して緩い凸性およびVMO条件を満たすと仮定する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 緩い凸性および空間変数に対するほぼVMO依存性の下で、完全非線形楕円型方程式に対して重み付きおよび混合ノルムSobolev評価を確立できるか？
• RQ2 明示的積分表現に依存せずに、$A_p$-重み付きのFefferman-Stein鋭い関数定理を非線形・非発散型形式方程式に適応できるか？
• RQ3 複数の$A_p$-重みを有する状況下で、外挿法を用いて完全非線形方程式の混合ノルム評価をどのように導出できるか？
• RQ4 完全非線形放物型方程式が重み付きおよび混合ノルム空間において$W^{2,p}$型評価を満たすための条件は何か？
• RQ5 半空間における完全非線形方程式に対して、$A_p$-重み（境界からの距離のべきを含む）を用いた局所的および境界評価を取得できるか？

主な発見

• 著者らは、空間変数$x$に関して緩い凸性およびほぼVMO依存性を満たす条件下で、全空間における完全非線形楕円型・放物型方程式に対して$A_p$-重み付き$W^{2,p}$評価を証明する。
• 分割関数に依存しない、$A_p$-重み付きの局所的Fefferman-Stein鋭い関数定理が、主要な技術的道具として確立される。
• 一般化された外挿定理（定理8.1）を用いて、異なる変数における異なる可積分性を有する方程式へと結果を拡張する混合ノルムSobolev評価が導出される。
• $D^2u$に関して一様一次の同次型作用素に対して、全空間設定において局所的混合ノルム評価が得られる。
• 半空間における境界評価は、$A_p$-重み（境界からの距離に比例するべき）を含む形で確立される。
• 結果は、全空間、半空間、球体、半球体における放物型方程式へと拡張され、対応する重み付きおよび混合ノルム評価が得られる。