[論文レビュー] On the Expansion of Graphs of 0/1-Polytopes

Volker Kaibel|ArXiv.org|Dec 14, 2001

Advanced Graph Theory Research被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、0/1-ポリトープのグラフのエッジ拡張性を調査し、立方体弧フローと一意にエッジ・キューブで張られる壁を用いた手法により、拡張性の下界を求める手法を提案する。本稿では、すべての次元 ≤5 の0/1-ポリトープ、単純な0/1-ポリトープ、ハイパーシンプルックス、安定集合ポリトープ、マッチングポリトープといった主要クラスが、エッジ拡張性が1以上であることを証明し、ランダムウォークの混合性を高めるためのMihail-Vazirani予想を支持する。

ABSTRACT

The edge expansion of a graph is the minimum quotient of the number of edges in a cut and the size of the smaller one among the two node sets separated by the cut. Bounding the edge expansion from below is important for bounding the ``mixing time'' of a random walk on the graph from above. It has been conjectured by Mihail and Vazirani that the graph of every 0/1-polytope has edge expansion at least one. A proof of this (or even a weaker) conjecture would imply solutions of several long-standing open problems in the theory of randomized approximate counting. We present different techniques for bounding the edge expansion of a 0/1-polytope from below. By means of these tools we show that several classes of 0/1-polytopes indeed have graphs with edge expansion at least one. These classes include all 0/1-polytopes of dimension at most five, all simple 0/1-polytopes, all hypersimplices, all stable set polytopes, and all (perfect) matching polytopes.

研究の動機と目的

• 効率的なランダムウォークの混合性のための重要な性質である、0/1-ポリトープのグラフのエッジ拡張性の下界を提供すること。
• Mihail-Vazirani予想—すべての0/1-ポリトープのグラフはエッジ拡張性が1以上—が特定のクラスに対して成り立つかを調査すること。
• 0/1-ポリトープの構造的性質を用いて、エッジ拡張性の下界を証明する一般的手法を開発すること。
• 安定集合ポリトープ、マッチングポリトープ、完全マッチングポリトープのグラフがエッジ拡張性が1以上であることを確立すること。

提案手法

• 一意にエッジ・キューブで張られる壁を span するアフィンエッジ・キューブ内のフローを用いて、0/1-ポリトープのグラフ上にネットワークフローを構築する。
• すべてのこのようなエッジ・キューブに対してフロー分解を適用し、各アークが高々 n/2 個のフローに使用されることを保証する。ここで n は頂点数である。
• アークごとの最大フローの上限を用いて、不等式 (4) を介してエッジ拡張性の下界を導出する。これにより、フローの性質と拡張性を結びつける。
• すべての頂点対にわたる構造的カバレッジを保証するために、エッジ・キューブが壁を張る際の反対頂点の概念を用いる。
• 安定集合における対称差分接続性やマッチングポリトープにおける線グラフ双対性といった既知の組合せ的構造を活用し、有効なエッジ・キューブスパンを同定する。
• 定理 4.12 を適用し、すべての異なる頂点対が一意にエッジ・キューブで張られる壁において反対頂点であるという条件下で、エッジ拡張性 ≥1 を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 MihailとVaziraniが予想したように、0/1-ポリトープのグラフはエッジ拡張性が1以上であるか？
• RQ2 安定集合などから生じる0/1-ポリトープの構造的性質（例：単純であること）が、有界なエッジ拡張性を保証するか？
• RQ3 組合せ的および幾何的分解を用いて、0/1-ポリトープのグラフにおけるエッジ拡張性の下界を求める一般的手法は存在するか？
• RQ4 安定集合ポリトープとマッチングポリトープは、その背後にあるグラフ理論的構造のおかげでMihail-Vazirani予想を満たすか？
• RQ5 次元が5以下の0/1-ポリトープのエッジ拡張性が、フローに基づく手法を用いて1以上であることを証明できるか？

主な発見

• 次元が5以下のすべての0/1-ポリトープはエッジ拡張性が1以上である。
• すべての単純な0/1-ポリトープはエッジ拡張性が1以上である。
• すべてのハイパーシンプルックスはエッジ拡張性が1以上である。
• 任意のグラフの安定集合ポリトープはエッジ拡張性が1以上である。
• 任意のグラフのマッチングポリトープおよび完全マッチングポリトープはエッジ拡張性が1以上である。
• すべての異なる頂点対が一意にエッジ・キューブで張られる壁において反対頂点である場合、0/1-ポリトープのエッジ拡張性は1以上に下界される。