[論文レビュー] On the fine structure of stationary measures in systems which contract-on-average

Matthew Nicol, Nikita Sidorov+1 more|ArXiv.org|May 22, 2000

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 13被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、平均的に収縮する反復関数系（IFS）における不変測度のハウスドルフ次元に対する上界を確立し、エントロピーがリャプノフ指数の絶対値の d 倍未満である場合に特異性を示す。半群上の確率ウォーク理論を用いて次元推定値を改善し、ℝ 上の特定のアフィン写像に対してその上界が鋭いことを示す。

ABSTRACT

Suppose $\{f_1,...,f_m\}$ is a set of Lipschitz maps of $\mathbb{R}^d$. We form the iterated function system (IFS) by independently choosing the maps so that the map $f_i$ is chosen with probability $p_i$ ($\sum_{i=1}^m p_i=1$). We assume that the IFS contracts on average. We give an upper bound for the Hausdorff dimension of the invariant measure induced on $\mathbb{R}^d$ and as a corollary show that the measure will be singular if the modulus of the entropy $\sum_i p_i \log p_i$ is less than $d$ times the modulus of the Lyapunov exponent of the system. Using a version of Shannon's Theorem for random walks on semigroups we improve this estimate and show that it is actually attainable for certain cases of affine mappings of $\mathbb{R}$.

研究の動機と目的

• 平均的に収縮するIFSの不変測度がLebesgue測度に対して特異となる条件を特定すること。
• このような系における定常測度のハウスドルフ次元に対する上界を導出すること。
• 半群上の確率ウォークにおけるシャノンの定理のバージョンを用いて次元推定値を改善すること。
• 上記の上界がℝ 上の特定のアフィンIFSのケースで鋭いかどうかを示すこと。
• 高次元および非一様に収縮する系における不変測度の台の構造を分析すること。

提案手法

• リプシッツ連続写像 {f₁,…,fₘ} と確率ベクトル (p₁,…,pₘ) を持つIFSを定義し、独立な選択により写像の確率的積を形成する。
• 収縮-平均条件 ∑pᵢ log‖fᵢ‖ < 0 を用い、Ω→ℝᵈ への適切に定義された極限写像 φ と不変測度 μ の存在を保証する。
• Perron-Frobenius作用素 Lψ(x) = ∑pᵢψ(fᵢx) を用いて、μ を ν における φ による押し出しとして定義する。
• 特に短縮語の成長率に注目した半群の組み合わせ的性質を用いて、μ のハウスドルフ次元を推定する。
• 半群上の確率ウォークにおけるシャノンの定理のバージョンを活用し、次元推定値を精緻化し、アフィン系における鋭さを確立する。
• 1次元アフィンIFSおよび回転とスケーリングを含む2次元IFSの具体例を分析し、理論的上限の妥当性を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 平均的に収縮するIFSの不変測度がLebesgue測度に対して特異となる条件は何か？
• RQ2 このような系における不変測度のハウスドルフ次元に対する最良の上界は何か？
• RQ3 エントロピーとリャプノフ指数から導かれる次元上界は、特定のクラスのアフィンIFSで達成可能か？
• RQ4 非一様に収縮する系において、特にℝᵈ で有界でないか、または全空間である場合に、不変測度の台はどのように振る舞うか？
• RQ5 写像が生成する半群における代数的関係は、次元推定値の精緻化にどのような役割を果たすか？

主な発見

• 1パラメータ族のℝ 上のアフィンIFSに対して、特定の条件下でハウスドルフ次元 dimₕ(μ) ≤ log(2)/log(λ) が成り立つ。ただし λ > 1 である。
• f₁(x) = λ⁻¹x および f₂(x) = λ⁻¹x + 1 − λ⁻¹ かつ p₁ = p₂ = 1/2 の場合、λ > 1.9277² ≈ 3.716 のとき測度 μ は特異である。
• f₁(x) = Aₗ⁻¹x および f₂(x) = x + e で Aₗ = λRₐ（Rₐ は無理数回転）である2次元IFSにおいて、λ > 2 のとき不変測度 μ は特異である。
• 2次元例では、すべての λ > 1 に対して μ の台は全空間（supp(μ) = ℝ²）であるが、λ > 2 のとき μ は特異的である。
• 2次元例において λ > 2 のとき、dimₕ(μ) < 2 log 2 / log λ < 2 が成り立ち、測度が厳密に低次元的であることが示される。
• 半群における短縮語の成長率に関する上界 θ < 1.9277 が鋭い特異性閾値をもたらし、生成子間に無限個の独立な関係が存在することは、真の成長率がさらに低くなる可能性（おそらく1.7未満）を示唆する。