[論文レビュー] On the formalisme of mixed sheaves

Morihiko Saito|ArXiv.org|Nov 20, 2006

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 9被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、複素数体に埋め込める体上の代数的多様体に対して、混合層の形式的体系を提案し、混合ホッジモジュールとℓ-adic層を一般化する混合モチビック層の圏を構成する。幾何的起源対象の導来圏におけるExt群への有理チャウ群からのサイクル写像を確立し、その全射性がホッジ型予想と同値であることを示し、モチビックコホホロジーとホッジ理論を結びつける。

ABSTRACT

We give a formalism of mixed sheaves on varieties over a subfield of the complex number field.

研究の動機と目的

• 数体上の多様体に対して、混合ホッジモジュールとℓ-adic層を統一する混合層の形式的体系を構築すること。
• 幾何的起源対象を用いて、標準的関手および perverse 层への忘却関手と整合する混合モチビック層の圏を定義すること。
• 幾何的起源混合層の導来圏におけるExt群への有理チャウ群からのサイクル写像を確立すること。
• このサイクル写像の全射性が、数体上の滑らかで射影的多様体に対するホッジ型予想と同値であることを示すこと。
• この形式的体系が、ブロッハの予想およびモチビックコホホロジーの構造に与える影響を検討すること。

提案手法

• 体k上の代数的多様体Xに対して、A-混合層の圏を定義し、双対性、引き戻し、直接像、外部積に関して安定であり、X(ℂ)上の perverse 層への忘却関手を持つこと。
• 混合層の有界導来圏 D^b(M(X)) を構成し、標準的関手 f_*, f_!, f^*, f^!, ψ_g, φ_g,1, D, ⊗, Hom に関して安定であり、忘却関手と整合すること。
• 定数層 Q^M on Spec k から標準的関手を繰り返し適用し、商対象をとることで、幾何的起源対象の全部分圏 M(X)^go を定義すること。
• A = ℚ の場合、M(X) を (M,F), K_σ, K_l, W として実現し、比較同型と極化条件を満たすことで、混合ホッジモジュールおよびℓ-adic層を一般化すること。
• 有理チャウ群からモチビックExt群への自然なサイクル写像 CH^p(X)_Q → Ext^{2p}_{D^b M(X)^go}(Q_X^M, Q_X^M(p)) を構成すること。
• このサイクル写像の全射性を、絶対的ホッジサイクルが代数的であるというホッジ型予想に還元すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 数体上の多様体に対して、混合ホッジモジュールとℓ-adic層を統一する混合層の形式的体系を構築できるか？
• RQ2 幾何的起源混合層の導来圏における有理チャウ群からExt群へのサイクル写像は全射か？
• RQ3 このサイクル写像の全射性は、数体上の滑らかで射影的多様体に対するホッジ型予想を意味するか？
• RQ4 基底変換を用いて、サイクル写像の単射性を複素数多様体の場合に還元できるか？
• RQ5 サイクル写像の全射性と、高次チャウ群に関するブロッハの予想との関係は何か？

主な発見

• サイクル写像 CH^p(X)_Q → Ext^{2p}_{D^b M(X)^go}(Q_X^M, Q_X^M(p)) が構成され、これがすべての滑らかで射影的多様体 X に対してホッジ型予想が成立する場合にかつその場合にのみ全射であることが示された。
• サイクル写像の単射性は、X_ℂ におけるサイクル写像の単射性に還元され、CH^p(X)_Q → CH^p(X_ℂ)_Q の単射性により成立する。
• A = ℚ の場合、圏 M(X) はフィルトレーション付き正則特徴的D-加群、X_σ(ℂ) 上のℚ- perverse 層、X_σ(ℂ) 上のℚ_l- perverse 層、および整合性のあるフィルトレーション W を持ち、比較同型を満たす。
• 幾何的起源対象の全部分圏 M(X)^go は、混合層のすべての公理を満たし、混合モチビック層の圏と同値であると予想されている。
• dim X = n の場合、式 (8.11.1) のサイクル写像の全射性は、ホッジ型予想を仮定することで、次元 ≤ dim X の d+1 におけるサイクル写像の全射性に還元できる。
• dim X - 2 以上の d に対して、式 (8.11.2) の単射性はホッジ型予想のもとで確立され、p ≤ 1 の場合のExt群内の射の全射性を用いている。