[論文レビュー] On the Formalist Theory of Arithmetic

Stephen Boyce|arXiv (Cornell University)|Oct 6, 2010

Logic, programming, and type systems参考文献 1被引用数 1

ひとこと要約

この論文は、いかなる解釈においても、個体変数が数記号に割り当てられた個体に制限されるようにパrameter化された、修正された第一順序算術体系 S' を導入する。Gödel の技法を応用して、S' 内で Godel 文 (x)R[x] を構成し、S' が矛盾することを証明する。S' と標準的算術 S は同一の構文を持つため、これは標準的ペアノ算術自体の矛盾を意味する。

ABSTRACT

This paper describes a system S' obtained by modifying first-order arithmetic to 'parameterise' the individual variables so that under any interpretation of S', the individual variables range over all and only the individuals assigned to the numerals under this interpretation. Since S' contains Peano arithmetic and is recursively axiomatised we can modify Goedel's technique to define a Goedel sentence for S', say (x)R[x]. S' may be shown to be inconsistent since (x)R[x] must be an S' theorem. Since the syntax of S' and S are identical however the inconsistency of S itself is implied by this result.

研究の動機と目的

• 第一順序算術の整合性を、変数の解釈メカニズムを変更することで調査すること。
• 算術体系における変数のパrameter化が、隠れた整合性の欠如を暴露できるかを検討すること。
• 修正された体系 S' に Godel の不完全性技法を適応し、矛盾を導出すること。
• S' の整合性の欠如が、同一の構文を持つ標準的ペアノ算術の整合性の欠如を意味することを示すこと。
• 構文的および解釈的変更を通じて、形式的算術の整合性に関する基礎的仮定に挑戦すること。

提案手法

• 個体変数の範囲を、いかなる解釈においても数記号に割り当てられた個体に制限するように再定義することで、修正された体系 S' を構築する。
• S' がペアノ算術を含み、再帰的に公理化可能であり、第一順序論理の構文的構造を保持することを示す。
• Gödel の技法を用いて、標準的不完全性定理における決定不能文に類似した、S' 内で (x)R[x] という Godel 文を定義する。
• 論文は、パrameter化機構のおかげで (x)R[x] が S' において定理でなければならないと主張し、矛盾を引き起こす。
• S' が (x)R[x] とその否定の両方を証明できることを示すことにより、体系が矛盾することを証明する。
• S' と標準的算術 S は同一の構文を持つため、S' の矛盾は S の矛盾を論理的に意味する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 パrameter化された変数を持つ修正された第一順序算術体系において、Gödel 式の自己言及的性質が矛盾を引き起こすか。
• RQ2 S' と標準的ペアノ算術との構文的類似性は、S' の整合性の欠如が元の体系に影響することを意味するか。
• RQ3 パrameter化のおかげで、S' 内の Godel 文が定理でなければならないように構成可能か。その場合、整合性が破られる。
• RQ4 構文的に同一の体系 S' が矛盾することが示された場合、ペアノ算術の整合性にどのような影響が生じるか。
• RQ5 変数を数記号に制限することで、形式的体系における自己言及的文の導出可能性にどのような影響が生じるか。

主な発見

• S' は、パrameter化ルールの下で (x)R[x] が定理でなければならないため、矛盾することが証明される。
• S' の整合性の欠如は、変数が数記号に割り当てられた個体に制限される仕組みのおかげで生じ、整合的体系が満たすべき性質と矛盾する。
• S' と標準的ペアノ算術が同一の構文を持つため、S' の整合性の欠如は、標準的算術の整合性の欠如を意味する。
• S' 内での (x)R[x] の構成は Godel の方法に従うが、変更された変数の解釈のおかげで矛盾に至る。
• この結果は、標準的第一順序算術が整合的であるという基礎的仮定に疑問を呈する。これは、変数の意味論をわずかに変更した結果である。
• 論文は、標準的体系が表す形式主義的算術の立場は、変数のパrameter化を受けると本質的に矛盾を含む可能性があると結論づける。