[論文レビュー] On the geometric structures of conductive transmission eigenfunctions and its application

Huaian Diao, Xinlin Cao+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 5, 2018

Numerical methods in inverse problems被引用数 1

ひとこと要約

本稿は、導電性伝送固有関数の幾何的構造を確立し、内部角がπに等しくない角の近くでそれらが局所的に消えることを証明しており、内部伝送固有関数に関する先行研究を顕著に一般化している。新たな解析的手法を導入し、単一の遠方場測定からの多角形導電性障害物およびその表面導電パラメータの一意的回復に応用している。

ABSTRACT

This paper is concerned with the intrinsic geometric structures of conductive transmission eigenfunctions. The geometric properties of interior transmission eigenfunctions were first studied in [9]. It is shown in two scenarios that the interior transmission eigenfunction must be locally vanishing near a corner of the domain with an interior angle less than $\pi$. We significantly extend and generalize those results in several aspects. First, we consider the conductive transmission eigenfunctions which include the interior transmission eigenfunctions as a special case. The geometric structures established for the conductive transmission eigenfunctions in this paper include the results in [9] as a special case. Second, the vanishing property of the conductive transmission eigenfunctions is established for any corner as long as its interior angle is not $\pi$. That means, as long as the corner singularity is not degenerate, the vanishing property holds. Third, the regularity requirements on the interior transmission eigenfunctions in [9] are significantly relaxed in the present study for the conductive transmission eigenfunctions. In order to establish the geometric properties for the conductive transmission eigenfunctions, we develop technically new methods and the corresponding analysis is much more complicated than that in [9]. Finally, as an interesting and practical application of the obtained geometric results, we establish a unique recovery result for the inverse problem associated with the transverse electromagnetic scattering by a single far-field measurement in simultaneously determining a polygonal conductive obstacle and its surface conductive parameter.

研究の動機と目的

• 領域の角の近くにおける導電性伝送固有関数の幾何的挙動を調査すること。
• 内部伝送固有関数に関する先行研究を、より広範な導電性伝送固有関数のクラスに一般化すること。
• 固有関数解析に必要な正則性仮定を、以前の研究と比較して緩和すること。
• 単一の遠方場測定を用いた逆散乱問題における一意的回復結果を確立すること。

提案手法

• 導電性伝送固有関数の複雑さに対処するための、特化した新しい解析的手法の開発。
• 内部角がπに等しくない角における固有関数の消える挙動の分析を拡張すること。
• 漸近的および特異解析法を用いて、角特異点付近での固有関数挙動を研究すること。
• 得られた幾何的性質を基に、逆散乱問題のための一意性証明を構築すること。
• 導電性物質の枠組みにおいて境界条件と伝送条件を固有関数枠組みに統合すること。
• 消える性質を活用して、逆問題定式化における解空間を制約すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 導電性伝送固有関数が領域の角の近くで消える幾何的条件は何か？
• RQ2 角の内部角が導電性伝送固有関数の消える挙動にどのように影響するか？
• RQ3 固有関数の正則性要件を、幾何的構造の結果を保持したまま低減できるか？
• RQ4 単一の遠方場測定が、多角形障害物の形状および表面導電パラメータを一意に特定できるか？
• RQ5 内部伝送固有関数から導電性伝送固有関数へ結果を拡張するために、どのような新しい解析的ツールが必要か？

主な発見

• 内部角がπに等しくない任意の角の近くで、導電性伝送固有関数は局所的に消える。これは、具体的な導電パラメータに依存しない。
• 従来の内部伝送固有関数に関する結果を含む特殊ケースとして、先行研究の結果を顕著に一般化している。
• 以前の研究と比較して、固有関数に課される正則性仮定が顕著に緩和されている。
• 幾何的消える性質は、特定の角度に限定されず、すべての非退化な角特異点に対して成り立つ。
• 単一の遠方場測定からの多角形導電性障害物およびその表面導電パラメータの同定という逆問題に対して、一意的回復結果が確立された。
• 解析により、導電性伝送固有関数フレームワークが、これまで知られていたよりも強い幾何的制約を支持することが明らかになった。