[論文レビュー] On the Geometry of Tangent Bundles with the Rescaled Metric

Jian Wang, Yong Wang|arXiv (Cornell University)|Apr 29, 2011

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 5被引用数 14

ひとこと要約

本稿は、リーマン多様体上に備わるスケーリングされたササキ計量およびチーリャ＝グロモル計量を備えた接 bundle の微分幾何学を調査する。これらのスケーリング計量の下で、レビ・チビタ接続およびリーマン曲率テンソルの明示的公式を導出し、測地線および断面曲率を特徴づける。特に、接 bundle 上のスカラー曲率が元の多様体の曲率およびスケーリング関数に依存することを示している。

ABSTRACT

For a Riemannian manifold $M$, we determine some curvature properties of a tangent bundle equipped with the rescaled metric.The main aim of this paper is to give explicit formulae for the rescaled metric on $TM$, and investigate the geodesics on the tangent bundle with respect to the rescaled Sasaki metric.

研究の動機と目的

• リーマン多様体 $(M,g)$ の接 bundle $TM$ 上のスケーリング計量の一般枠組みを構築し、ササキ計量およびチーリャ＝グロモル計量を拡張する。
• スケーリングされたササキ計量の下で、$TM$ 上のレビ・チビタ接続およびリーマン曲率テンソルを計算する。
• スケーリングされたササキ計量の下での $TM$ 上の測地線を分析する。
• 特に断面曲率およびスカラー曲率に注目し、スケーリングされたチーリャ＝グロモル計量を備えた接 bundle の曲率性質を調査する。
• $(M,g)$ の幾何的不変量と $(TM, \tilde{g}^f)$ のそれらとの明示的関係を確立する。特に、定曲率の仮定下で検討する。

提案手法

• 多様体 $M$ 上の滑らかな正の関数 $f$ を用いて水平成分と垂直成分をスケーリングすることにより、$TM$ 上に自然なクラスのスケーリング計量 $\bar{g}^f$ を導入する。
• Koszul の公式を用いて、$TM$ 上のレビ・チビタ接続 $\overline{\nabla}^f$ を導出し、$f$、$M$ 上のレビ・チビタ接続 $\nabla$、および $M$ のリーマン曲率テンソル $R$ を用いてその成分を表現する。
• 導出した接続と曲率成分を用いて、スケーリングされたササキ計量のリーマン曲率テンソル $\hat{R}^f$ を計算する。
• スケーリングされたササキ計量の下での測地線を、導出された測地線方程式を解くことにより分析し、スケーリング関数 $f$ の果たす役割に注目する。
• スケーリングされたチーリャ＝グロモル計量 $\tilde{g}^f$ の場合、断面曲率 $\tilde{K}^f$ を元の曲率 $\kappa$、スケーリング関数 $f$、および $g(u,X)$ のような幾何的データを用いて明示的に表現する。
• $(TM, \tilde{g}^f)$ のスカラー曲率 $\tilde{S}^f$ を、元のスカラー曲率 $S$、曲率の縮約 $|R(e_i,e_j)u|^2$、パrameter $\alpha$ および次元 $m$ を含む項の和として計算する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 滑らかな正の関数 $f$ を用いたササキ計量の一般スケーリングの下で、接 bundle $TM$ のレビ・チビタ接続および曲率テンソルはどのように変化するか？
• RQ2 スケーリングされたササキ計量を備えた $TM$ 上の測地線方程式は何か？また、それらは基底多様体 $M$ の幾何にどのように依存するか？
• RQ3 特に $M$ が定曲率を持つ場合に、スケーリングされたチーリャ＝グロモル計量を備えた接 bundle $TM$ の断面曲率の明示的公式は何か？
• RQ4 スケーリングされたチーリャ＝グロモル計量を備えた $TM$ のスカラー曲率は、基底多様体 $M$ のスカラー曲率および曲率テンソルとどのように関係するか？
• RQ5 スケーリング計量構造を備えた $TM$ 上での、$M$ の幾何的不変量は保存されるか、あるいは変換されるか？

主な発見

• スケーリングされたササキ計量の下での $TM$ 上のレビ・チビタ接続 $\overline{\nabla}^f$ は、$f$、$\nabla$、曲率テンソル $R$ を含む成分によって完全に特徴づけられ、$R(X,Y)u$ を含む混合水平・垂直項を有する。
• 定曲率 $\kappa$ を持つ多様体に対して、スケーリングされたチーリャ＝グロモル計量の下での断面曲率 $\tilde{K}^f$ は、水平ペアに対して明示的に $\frac{1}{f^3}\kappa - \frac{3\kappa^2}{4\alpha f^4}(g(u,X)^2 + g(u,Y)^2) + \frac{1}{f^2}\tilde{L}^f(X,Y)$ と与えられる。
• 正規直交基底 $X,Y$ に対して、$\tilde{K}^f(X^h, Y^v)$ は $\frac{1}{4\alpha f^3}\frac{\kappa^2 g(X,u)^2}{1 + g(Y,u)^2}$ であり、$\kappa$ およびファイバー内での位置 $u$ に依存することが示される。
• 垂直ベクトルに対して $\tilde{K}^f(X^v, Y^v)$ は $\frac{1 - \alpha}{\alpha^2} + \frac{2 + \alpha}{\alpha} \frac{1}{1 + g(Y,u)^2 + g(X,u)^2}$ であり、曲率とは無関係に $\alpha$ およびファイバーノルムに依存する。
• スケーリングされたチーリャ＝グロモル計量を備えた $TM$ のスカラー曲率 $\tilde{S}^f$ は、$S_p + \frac{2\alpha - 3}{4\alpha f^4} \sum_{i,j=1}^m |R(e_i,e_j)u|^2 + \frac{1}{f^2} \sum_{i,j=1}^m \tilde{L}^f(X,Y) + \frac{m-1}{\alpha^2}[6 + (m-2)(\alpha^2 + \alpha + 1)]$ と与えられ、$f$、$\alpha$、曲率に複雑に依存することが示される。
• 正規直交基底 $\{t_i\}$ を備えた $T_{(p,u)}TM$ に対して、断面曲率 $\tilde{K}^f(t_i,t_{m+k}) = \frac{1}{4f^3}|R(u,e_k)e_i|^2$ および $\tilde{K}^f(t_{m+1},t_{m+k}) = \frac{3}{\alpha^2}$ が明示的に計算され、非自明なファイバー依存性が明らかになる。