[論文レビュー] On the geometry of the $B$-connection on quasi-Kähler manifolds with Norden metric

Dimitar Mekerov|ArXiv.org|Apr 25, 2008

Geometric Analysis and Curvature Flows被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、ノーデン計量を備えた擬ケーラー多様体における$B$接続の研究を行い、その曲率テンソルがケーラー的であるための必要十分条件を導出する。曲率テンソル$K$がケーラー的であるための必要十分条件は、リーマン曲率テンソルとテンソル$P$を含む特定の巡回和条件を満たすことであると示され、4次元の場合には$K$がケーラー的であるとき曲率が標準的形に分解されることを示している。

ABSTRACT

The $B$-connection on almost complex manifolds with Norden metric is an analogue of the first canonical connection of Lihnerovich in Hermitian geometry. In the present paper it is considered a $B$-connection in the class of the quasi-Kähler manifold with Norden metric. Some necessary and sufficient conditions are derived for the corresponding curvature tensor to be Kählerian. Curvature properties for this connection are obtained. Conditions are given for the considered manifolds to be isotropic-Kähler.

研究の動機と目的

• ノーデン計量を備えた擬ケーラー多様体における$B$接続の幾何的性質を分析すること。
• $B$接続の曲率テンソルがケーラー的であるための必要十分条件を導出すること。
• $\mathcal{W}_3 \cap \mathcal{L}_2$ における曲率恒等式およびスカラー曲率の関係を調査すること。
• そのような多様体が等方的ケーラー的（すなわち、$\|\nabla J\|^2 = 0$）であるための条件を特定すること。
• $B$接続曲率がケーラー的である場合の4次元における曲率の分解を調査すること。

提案手法

• 接続$D_x y = \nabla_x y + \frac{1}{2}(\nabla_x J)Jy$を用いて$B$接続を定義し、$J$および$g$を保存する。
• リーマン曲率テンソル$R$とテンソル$Q(y,z) = \frac{1}{2}(\nabla_y J)Jz$を用いて$B$接続の曲率テンソル$K$を導出する。
• $K(x,y,z,w)$を$R(x,y,z,w)$、$\nabla Q$、および$Q$項で表現し、重要な式 (2.7) $K = \frac{1}{4}\{2R - 2R(\cdot,\cdot,J\cdot,J\cdot) + P\}$ を得る。
• テンソル$P(x,y,z,w) = g((\nabla_x J)z, (\nabla_y J)w) - g((\nabla_y J)z, (\nabla_x J)w)$を定義し、これはほぼ複素構造の非可積分性を捉える。
• 第一ビアンキ恒等式および対称性を用いて、$K$がケーラー条件$K(x,y,Jz,Jw) = -K(x,y,z,w)$を満たすための条件を分析する。
• リッチ曲率およびスカラー曲率の恒等式を用いて、$\tau$、$\tau(K)$、$\tau(P)$、$\|\nabla J\|^2$の関係を導出し、$\tau = \tau(K) - \frac{1}{8}\|\nabla J\|^2$を得る。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $\mathcal{W}_3$-多様体における$B$接続の曲率テンソルがケーラー的であるための条件は何か？
• RQ2 $B$接続の曲率は、リーマン曲率テンソルおよびテンソル$P$とどのように関係するか？
• RQ3 $\mathcal{W}_3 \cap \mathcal{L}_2$ において、$B$接続曲率がケーラー的であるとき、どのようなスカラー曲率恒等式が成り立つか？
• RQ4 $\mathcal{W}_3$-多様体が等方的ケーラー的であるのはいつか？ また、これは$B$接続のスカラー曲率とどのように関係するか？
• RQ5 $\mathcal{W}_3 \cap \mathcal{L}_2$ における4次元多様体で、$B$接続曲率がケーラー的である場合、曲率の分解はどのように振る舞うか？

主な発見

• $\mathcal{W}_3$-多様体における$B$接続の曲率テンソル$K$は、かつて、$2\mathfrak{S}_{x,y,z}R(x,y,Jz,Jw) = \mathfrak{S}_{x,y,z}P(x,y,z,w)$が成り立つとき、すなわち定理2.3で述べられているように、ケーラー的である。
• $\mathcal{W}_3 \cap \mathcal{L}_2$ のクラスにおいて、$B$接続曲率$K$がケーラー的であるための必要十分条件は、テンソル$P$が同様にケーラー的であることである。これは定理2.4による。
• $K$がケーラー的であるとき、常に$H(x,y,z,w) = R(x,y,z,w) - R(x,y,Jz,Jw)$がケーラー的であることが、系2.5で示されている。
• レヴィチビタ接続のスカラー曲率$\tau$は、(3.5)から導かれるように、$\tau = \tau(K) - \frac{1}{8}\|\nabla J\|^2$ を満たす。この関係は$\tau(K)$と$\|\nabla J\|^2$を結ぶ。
• テンソル$P$のスカラー曲率は$\tau(P) = -\frac{1}{2}\|\nabla J\|^2$ を満たす。これは(3.4)で確立されており、スカラー曲率恒等式において中心的な役割を果たす。
• 4次元の$\mathcal{W}_3 \cap \mathcal{L}_2$ 多様体で$K$がケーラー的であるとき、曲率$H$は$H = \frac{4\tau(K) - \tau(P)}{16}(\pi_1 - \pi_2) + \frac{4\tau^*(K) - \tau^*(P)}{16}\pi_3$ に分解される。これは命題3.2による。