[論文レビュー] On the Gromov hyperbolicity of strongly pseudoconvex domains in almost complex manifolds

Florian Bertrand, Hervé Gaussier|arXiv (Cornell University)|Feb 22, 2012

Geometry and complex manifolds被引用数 2

ひとこと要約

本稿では、ほぼ複素多様体 $ (M,J) $ 内の滑らかで相対的にコンパクトな領域 $ D = \{ \rho < 0 \} $ が、閉包 $ \overline{D} $ の近傍で厳密に $ J $-擬上膜関数である定義関数 $ \rho $ を持つ場合、境界が連結であり、Gromov 超曲面的であることを確立する。この結果は、擬上膜関数幾何を用いて、複素幾何における超曲面的性の概念をほぼ複素設定へと拡張する。

ABSTRACT

Let $D=\{ ho < 0\}$ be a smooth relatively compact domain in an almost complex manifold $(M,J)$, where $ ho$ is a smooth defining function of $D$, strictly $J$-plurisubharmonic in a neighborhood of the closure $\overline{D}$ of $D$. We prove that $D$ has a connected boundary and is Gromov hyperbolic.

研究の動機と目的

• 強擬凸領域の幾何的構造を、ほぼ複素多様体において調査すること。
• このような領域が、距離幾何における重要な性質である Gromov 超曲面的性を示すかどうかを特定すること。
• 複素幾何からの結果を、より広範なほぼ複素構造の設定へと拡張すること。
• このような領域の境界が連結であり、距離空間が超曲面的であるような条件を確立すること。

提案手法

• 領域 $ D $ の閉包 $ \overline{D} $ の近傍で厳密に $ J $-擬上膜関数である滑らかな定義関数 $ \rho $ を用いる。
• 特に $ J $-擬上膜関数の性質に注目した、ほぼ複素幾何の技法を適用する。
• $ J $ が誘導するリーマン形式および曲率性質を用いて、領域 $ D $ の内在的幾何を分析する。
• 距離空間の手法を用いて、$ \rho $ の厳密な擬上膜関数性から Gromov 超曲面的性を導出する。
• 厳密な $ J $-擬上膜関数性がもたらす位相的および幾何的結果に依拠して、連結性と超曲面的性を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ほぼ複素多様体内の強擬凸領域は、連結な境界を持つのか？
• RQ2 どのような条件下で、このような領域が Gromov 超曲面的になるか？
• RQ3 定義関数の厳密な $ J $-擬上膜関数性から、領域 $ D $ の Gromov 超曲面的性を導けるか？
• RQ4 ほぼ複素構造 $ J $ は、領域 $ D $ の超曲面的性にどのように影響を与えるか？

主な発見

• 領域 $ D $ は、$ \overline{D} $ の近傍で $ \rho $ が厳密に $ J $-擬上膜関数であることから、境界が連結である。
• 領域 $ D $ は Gromov 超曲面的であり、これはその内在的距離が細い三角形条件を満たすことを意味する。
• この結果は、$ \rho $ が $ \overline{D} $ の近傍で厳密に $ J $-擬上膜関数であるという仮定のもとで成り立つ。これにより強い幾何的制御が保証される。
• 証明は、$ J $-擬上膜関数幾何とほぼ複素多様体における距離的超曲面的性の間の相互作用に依拠している。