[論文レビュー] On the ground states of the $M_\ell$ models

Liza Huijse, Christian Hagendorf|arXiv (Cornell University)|Sep 29, 2015

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 16被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、スーパーチャージのコホモロジー理論を用いて、一次元 $M_\ell$ 格子フェルミオン模型におけるゼロエネルギー基底状態の正確な数を決定する。これは、長さが $\ell+2$ ランク異なるチェインのコホモロジーを結ぶ、新しいコホモロジー同型写像を明らかにし、基底状態の degeneracy がチェイン長および境界条件に依存することを示している。主な結果として、$N \leq 3\ell/2 + 2$ の場合に次元1のコホモロジーが得られる。解析は周期的境界条件および特別な境界条件に適用され、超対称的量子多体系の理解およびそのトポロジカル特徴についての拡張がなされる。

ABSTRACT

We study the $M_\ell$ models for lattice fermions with supersymmetry introduced by Fendley, Nienhuis and Schoutens on one-dimensional chains. We determine the number of ground states as a function of the chain length as well as various boundary conditions by solving the corresponding cohomology problem. As an intermediate result we obtain the Cut (and Paste) cohomology isomorphism, which maps the cohomology problem of chains, whose lengths differ by $\ell+2$ sites, onto each other.

研究の動機と目的

• 一次元チェインにおけるさまざまな境界条件のもとで、$M_\ell$ モデルのゼロエネルギー基底状態の正確な数を特定すること。
• 基底状態の構造と関連する $M_\ell$ ハミルトニアンを定義するスーパーチャージのコホモロジーを分析し、ゼロエネルギー状態の構造に結びつけること。
• 長さが $\ell+2$ サイト異なるチェインのコホモロジーを結ぶ、新しいコホモロジー同型写像を確立すること。
• $\ell \geq 2$ の場合に超対称的格子模型の理解を拡張すること。特に、以前の結果は $\ell=1$ に限られていた。
• 境界条件、特に特別な境界条件（$s = (c_1, c_N)$ で $0 \leq c_1, c_N \leq \ell$）が基底状態デジェネラシーおよびトポロジカル構造に与える役割を明確にすること。

提案手法

• 本研究では、超対称的模型における物理的基底状態に対応するゼロエネルギー状態を特定するため、スーパーチャージ $Q_1$ および $Q_2$ のコホモロジーを用いる。
• 長さ $N$ のチェインのコホモロジーを長さ $(N + \ell + 2)$ のチェインのコホモロジーへ写像する「カット（およびペースト）」コホモロジー同型写像を定義し、再帰的解析を可能にする。
• チェイン長に基づき2つの場合に分ける：$N > 3\ell/2 + 2$ および $N \leq 3\ell/2 + 2$、それぞれ異なるコホモロジカル構造を持つ。
• $Q_2$-不変性および同値類の性質を用いた、状態を $|\psi_{k,m,i}\rangle$ でラベル付けしたコホモロジー類に対する帰納的証明を実施する。
• フェルミオンクラスタの構造と排他則（連結セグメントごとに $\ell$ 個のフェルミオンが制限）を活用し、ヒルベルト空間およびコホモロジー基底を制限する。
• 技術的結果はフェルミオン数のグレーディングを伴うグレーディング付きフォック空間を用いて導出され、$N_1 = N - \ell - 2$ の値に基づき場合分けして解析が行われる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般の $\ell$ に対して、$M_\ell$ モデルにおけるゼロエネルギー基底状態の数は、チェイン長 $N$ および境界条件にどのように依存するか？
• RQ2 これらの超対称的格子フェルミオン模型における基底状態デジェネラシーの背後にある数学的構造は何か？
• RQ3 長さが $\ell + 2$ サイト異なるチェインのコホモロジーを結ぶコホモロジー同型写像を確立できるか？
• RQ4 特別な境界条件（$s = (c_1, c_N)$ で $0 \leq c_1, c_N \leq \ell$）が基底状態デジェネラシーに与える影響は何か？
• RQ5 特に $N \leq 3\ell/2 + 2$ の場合に、スーパーチャージ複体 $\mathcal{H}_{Q_2}(\mathcal{H}_{Q_1})$ のコホモロジーはどのように振る舞うか？

主な発見

• $N > 3\ell/2 + 2$ の場合、コホモロジー $\mathcal{H}_{Q_2}(\mathcal{H}_{Q_1})$ は自明であり、すべてのコホモロジー類がゼロに同値であるため、基底状態デジェネラシーは $Q_1$ の核にのみ依存する。
• $N \leq 3\ell/2 + 2$ の場合、コホモロジー $\mathcal{H}_{Q_2}(\mathcal{H}_{Q_1})$ の次元は1であり、一意の非自明なクラスのゼロエネルギー状態が存在することを示している。
• 非自明なコホモロジークラスは、$N \leq 3\ell/2 + 2$ の場合に $N - 3$ 個のフェルミオンを持つ状態として表され、この状態は $Q_1$-コホモロジー内での $Q_2$ の核に属する。
• カット（およびペースト）コホモロジー同型写像により、長さ $N$ のチェインのコホモロジーが長さ $(N + \ell + 2)$ のチェインのコホモロジーへ写像され、解法に再帰的構造が与えられる。
• 周期的境界条件における基底状態デジェネラシーは、全コホモロジー $\mathcal{H}_Q$ の次元に等しく、$N \leq 3\ell/2 + 2$ の場合に1であり、それ以外ではより大きくなる可能性がある。
• 解析により、$\ell \geq 2$ の場合に $M_\ell$ モデルが非アーベル的トポロジカル励起状態を支持することが確認され、最近の予想と整合的であり、基底状態デジェネラシーのパターンに対するコホモロジー的説明が得られた。