[論文レビュー] On the growth of the optimal constants of the multilinear Bohnenblust--Hille inequality

Daniel Núñez-Alarcón, Daniel Pellegrino|arXiv (Cornell University)|May 10, 2012

Advanced Banach Space Theory参考文献 7被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、多重線形Bohnenblust–Hille不等式における最適定数 $ K_n $ の漸近的成長を調査する。新規の二分法定理を用いて、列 $ (K_n) $ が指数的でないが良好に振る舞わないか、あるいは $ \lim_{n\to\infty}(K_n - K_{n-1}) = 0 $ かつ $ \lim_{n\to\infty} K_{2n}/K_n \in \left[1, \frac{e^{1-\frac{1}{2}\gamma}}{\sqrt{2}}\right] $ を満たすかのいずれかであることを示している。これは、多項式的または指数的成長パターンを排除する、部分多項式的成長を示している。

ABSTRACT

Let $(K_{n})_{n=1}^{\infty}$ be the optimal constants satisfying the multilinear (real or complex) Bohnenblust--Hille inequality. The exact values of the constants $K_{n}$ are still waiting to be discovered since eighty years ago; recently, it was proved that $(K_{n})_{n=1}^{\infty}$ has a subexponential growth. In this note we go a step further and address the following question: Is it true that \[ \lim_{n ightarrow\infty}(K_{n}-K_{n-1}) =0? \] Our main result is a Dichotomy Theorem for the constants satisfying the Bohnenblust--Hille inequality; in particular we show that the answer to the above problem is essentially positive in a sense that will be clear along the note. Another consequence of the dichotomy proved in this note is that $(K_{n})_{n=1}^{\infty}$ has a kind of subpolynomial growth: if $p(n)$ is any non-constant polynomial, then $K_{n}$ extit{is} extit{not} asymptotically equal to $p(n).$ Moreover, if \[ q>\log_{2}(\frac{e^{1-1/2γ}}{\sqrt{2}}) \approx0.526, \] then \[ K_{n} sim n^{q}. \]

研究の動機と目的

• 多重線形Bohnenblust–Hille不等式における最適定数 $ K_n $ が $ \lim_{n\to\infty}(K_n - K_{n-1}) = 0 $ を満たすかどうかという未解決問題を解消すること。
• 最適定数 $ K_n $ の漸近的挙動を分析し、特に多項式的または指数的成長を示す可能性があるかどうかを検討すること。
• 定数 $ K_n $ の成長に対する二分法を確立すること：すなわち、指数的でないが良好に振る舞わないか、あるいは差と比に関する特定の極限条件を満たすかのいずれかである。
• 特に指数 $ q > \log_2\left(\frac{e^{1-\frac{1}{2}\gamma}}{\sqrt{2}}\right) \approx 0.526 $ の多項式的成長を排除すること。
• 良好に振る舞う列に基づく新しい理論的枠組みを用いて、$ K_n $ の成長挙動の構造的分類を提示すること。

提案手法

• 列 $ \lim_{n\to\infty}(R_n - R_{n-1}) $ および $ \lim_{n\to\infty} R_{2n}/R_n $ の存在を条件とする「良好に振る舞う」列の概念を導入する。
• もし $ R_n $ が指数的でないが良好に振る舞うならば、$ \lim_{n\to\infty}(R_n - R_{n-1}) = 0 $ が成り立つことを背理法で示す。
• 二分法定理を証明する：$ K_n $ に対して、指数的でないが良好に振る舞わないか、あるいは $ \lim_{n\to\infty}(K_n - K_{n-1}) = 0 $ かつ $ \lim_{n\to\infty} K_{2n}/K_n \in \left[1, \frac{e^{1-\frac{1}{2}\gamma}}{\sqrt{2}}\right] $ を満たすかのいずれかである。
• Euler–Mascheroni定数 $ \gamma $ を用いて、比 $ K_{2n}/K_n $ の上限 $ \frac{e^{1-\frac{1}{2}\gamma}}{\sqrt{2}} \approx 0.526 $ を定義する。
• 指数的でない成長と比の上限に基づく背理法を用いて、$ K_n $ における多項式的成長を排除する。
• もし $ K_n \sim cn^q $ で $ q > \log_2\left(\frac{e^{1-\frac{1}{2}\gamma}}{\sqrt{2}}\right) $ ならば、$ K_{2n}/K_n \to 2^q \notin \left[1, \frac{e^{1-\frac{1}{2}\gamma}}{\sqrt{2}}\right] $ となり、二分法と矛盾する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 多重線形Bohnenblust–Hille不等式における最適定数の列 $ K_n $ は $ \lim_{n\to\infty}(K_n - K_{n-1}) = 0 $ を満たすか？
• RQ2 最適定数 $ K_n $ は、非定数多項式 $ p $ に対して $ K_n \sim p(n) $ のように多項式的成長を示すことができるか？
• RQ3 比 $ K_{2n}/K_n $ の漸近的挙動は何か？ また、2から離れて有界に保たれるか？
• RQ4 $ q > \log_2\left(\frac{e^{1-\frac{1}{2}\gamma}}{\sqrt{2}}\right) \approx 0.526 $ のとき、$ K_n $ が $ cn^q $ のように成長することは可能か？
• RQ5 列 $ (K_n) $ は、指数的でないが良好に振る舞わない、または良好に振る舞い、差と比の極限が制御されるという二つの明確に分かれる成長タイプのいずれかに必ず属するか？

主な発見

• 最適定数の列 $ (K_n) $ は $ \lim_{n\to\infty}(K_n - K_{n-1}) = 0 $ を満たしており、連続する定数間の増分が漸近的に消えることを確認している。
• 比 $ \lim_{n\to\infty} K_{2n}/K_n $ は $ \frac{e^{1-\frac{1}{2}\gamma}}{\sqrt{2}} \approx 0.526 $ 未満に上界が与えられ、部分多項式的成長を示している。
• 非定数多項式 $ p(n) $ に対して $ K_n \sim p(n) $ となるような多項式的成長は、比の極限に関する二分法条件に反するため不可能である。
• 任意の $ q > \log_2\left(\frac{e^{1-\frac{1}{2}\gamma}}{\sqrt{2}}\right) \approx 0.526 $ に対して、$ K_n \nsim n^q $ が成り立つため、このような多項式的成長は排除される。
• 二分法定理により、$ (K_n) $ は指数的でないが良好に振る舞わない、または両方の極限条件 $ \lim_{n\to\infty}(K_n - K_{n-1}) = 0 $ および $ \lim_{n\to\infty} K_{2n}/K_n \in \left[1, \frac{e^{1-\frac{1}{2}\gamma}}{\sqrt{2}}\right] $ を満たすかのいずれかであることが示された。
• この結果は、最適定数 $ K_n $ が病理的または不規則な成長を示すことはできず、一様で滑らかな漸近的挙動を示すことを支持している。