[論文レビュー] On the growth of torsion in the cohomology of arithmetic groups

Avner Ash, Paul E. Gunnells+2 more|arXiv (Cornell University)|Aug 20, 2016

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 9被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、GLₙ(ℤ)（n=3,4,5）および整数環上のGL₂(𝒪)を含む算術群のコhomologyにおける torsion の成長を計算的に調査している。合同部分群の塔を用いた Voronoi コホモロジー計算を通じて、欠陥1群における指数的 torsion 増加を予言する Bergeron–Venkatesh 予想と強い数値的一致を確認した一方で、Eisenstein 抬上や収束の遅さといった新しい現象も観測した。結果は予想される漸近的極限を支持しており、元の枠組みを超えた2つの新たな予想を提示する。

ABSTRACT

Let G be a semisimple Lie group with associated symmetric space D, and let Gamma subset G be a cocompact arithmetic group. Let L be a lattice inside a Z Gamma-module arising from a rational finite-dimensional complex representation of G. Bergeron and Venkatesh recently gave a precise conjecture about the growth of the order of the torsion subgroup H_i (Gamma_k; L )_tors as Gamma_k ranges over a tower of congruence subgroups of Gamma. In particular they conjectured that the ratio (log |H_i (Gamma_k ; L)_tors|)/[Gamma : Gamma_k] should tend to a nonzero limit if and only if i= (dim(D)-1)/2 and G is a group of deficiency 1. Furthermore, they gave a precise expression for the limit. In this paper, we investigate computationally the cohomology of several (non-cocompact) arithmetic groups, including GL_n (Z) for n=3,4,5 and GL_2 (O) for various rings of integers, and observe its growth as a function of level. In all cases where our dataset is sufficiently large, we observe excellent agreement with the same limit as in the predictions of Bergeron--Venkatesh. Our data also prompts us to make two new conjectures on the growth of torsion not covered by the Bergeron--Venkatesh conjecture.

研究の動機と目的

• 非共軌的算術群、特に GLₙ(ℤ) および GL₂(𝒪) のコホモロジーにおける torsion の成長を、合同部分群の塔に沿って調査すること。
• Bergeron–Venkatesh 予想が予言する欠陥1群における torsion 増加を、計算データを用いて検証すること。
• 非共軌的群における torsion 増加のパターンが、元の予想から逸脱するか、あるいは拡張されるかどうかを、特に高次元欠陥や異なるレベル族において探ること。
• 元の予想が捉えきれない、Eisenstein 抬上のような新しい現象を同定・分析すること。

提案手法

• 算術群のためのアルゴリズム的手法を用いて、GLₙ(ℤ) および GL₂(𝒪) の合同部分群の Voronoi ホモロジーを計算すること。
• Voronoi コンプレックスを用いて双対次元におけるコホモロジーを計算し、torsion 部分群の効率的計算を可能にすること。
• 特に素数レベルの増加や他の合同部分群族に対して、レベル関数としての torsion 増加の分析。
• 計算された torsion の位数を、Bergeron–Venkatesh 予想が予測する漸近的極限と比較すること。
• 大きな素数冪（例：11⁴、17⁴、31⁴）を持つ torsion 群の同定と、それらが異なる群間で一致することの分析を通じて、Eisenstein 抬上を示唆すること。
• Borel–Serre境界成分の位相的解析を通じて、nilmanifold や Levi 成分を含むスペクトル系列を用いて観測された抬上をヒューリスティックに説明すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非共軌的算術群のコホモロジーにおける torsion は、特に欠陥1群において、Bergeron–Venkatesh 予想が予言するように指数的に増加するか？
• RQ2 計算データでは、素数レベルの族よりも予想される漸近的極限への収束が著しく遅れているが、その理由は何か？
• RQ3 GL₃ と GL₄ のコホモロジー群間で見られる奇妙な torsion の転送（例：H₃(GL₄) に 11⁴、H₂(GL₃) に 11²）は、どのように説明できるか？
• RQ4 観測された Eisenstein 的な抬上は、Borel–Serre 境界における位相的メカニズムによって説明可能か？そのような現象が発生する条件は何か？
• RQ5 欠陥が1より大きい群における torsion 増加はどのように振る舞い、指数的ではなく多項式的または部分指数的パターンに従うか？

主な発見

• GL₃(ℤ) において、レベル 114 での H₂(Γₖ; ℒ) の torsion は 2⁵·3³·11² であり、GL₄(ℤ) において同じレベルでの H₃(Γₖ; ℒ) は 2¹²·3⁷·11⁴ である。これは Eisenstein 抬上に一致する二乗比の一致を示している。
• レベル 118 において、GL₄(ℤ) では torsion が 2¹⁴·17⁴、GL₃(ℤ) では 17² であり、再び二乗増加のパターンが確認され、Eisenstein 現象を示唆している。
• レベル 119 において、GL₄(ℤ) では torsion が 2⁴·3³·31⁴、GL₃(ℤ) では 2²·3¹·31² であり、さらに Eisenstein 抬上メカニズムの支持が得られた。
• 欠陥1群（例：GL₃(ℤ) や GL₄(ℤ)）における計算された torsion 増加は、Bergeron–Venkatesh 予想が予測する漸近的極限と良好な定量的一致を示している。
• 尖点領域の最高コホモロジー次元における奇妙な torsion は、欠陥1群において指数的に増加しており、予想と整合的である。
• 予想される漸近的極限への収束は、素数レベル族よりも著しく遅く、レベル依存の収束行動を示唆している。