[論文レビュー] On the Hamiltonian formulation and integrability of the Rajeev-Ranken model

Govind S. Krishnaswami, T. R. Vishnu|arXiv (Cornell University)|Apr 9, 2018

Black Holes and Theoretical Physics被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、SU(2)主臨界模型と双対な強い結合定数を持つノネルポテン型スカラー場理論の力学的還元であるRajeev-Ranken模型のハミルトニアン形式と古典的可積分性を確立する。ダーブォー座標、ラクス対、古典的r行列、および退化したポアソンペンシルを同定することにより、関数的に独立な保存量の完全集合が可換関係を満たすことを証明し、リウヴィル可積分性を示した。これにより、ネーマン模型に対する新たなハミルトニアン形式が明らかになった。

ABSTRACT

The integrable 1+1-dimensional SU(2) principal chiral model (PCM) serves as a toy-model for 3+1-dimensional Yang-Mills theory as it is asymptotically free and displays a mass gap. Interestingly, the PCM is 'pseudo-dual' to a scalar field theory introduced by Zakharov and Mikhailov and Nappi that is strongly coupled in the ultraviolet and could serve as a toy-model for non-perturbative properties of theories with a Landau pole. Unlike the semi-direct product of su(2) and abelian current algebras of the PCM, its pseudo-dual is based on a nilpotent current algebra. Recently, Rajeev and Ranken obtained a mechanical reduction by restricting the nilpotent scalar field theory to a class of constant energy-density classical waves expressible in terms of elliptic functions, whose quantization survives the passage to the strong-coupling limit. We study the Hamiltonian and Lagrangian formulations of this model and its classical integrability, identifying Darboux coordinates, Lax pairs, classical r-matrices and a degenerate Poisson pencil. We identify Casimirs as well as a complete set of conserved quantities in involution and the canonical transformations they generate. They are related to Noether charges of the field theory and are shown to be generically functionally independent, implying Liouville integrability. We also find an interesting relation between this model and the Neumann model allowing us to discover a new Hamiltonian formulation of the latter.

研究の動機と目的

• 強い結合定数を持つノネルポテン型スカラー場理論から導かれた力学的還元として得られるRajeev-Ranken模型に対して、厳密なハミルトニアン形式を確立すること。
• 保存量が可換関係を満たすことを同定し、それらの関連対称性を特定することによって、モデルの古典的可積分性を調査すること。
• ダーブォー座標、ラクス対、および退化したポアソンペンシルを通じて、モデルの幾何的構造を解明すること。
• モデルの保存量が元の場理論におけるノネル対称性とどのように関係しているかを特定すること。
• Rajeev-Ranken模型とネーマン模型との間の新しい関係を明らかにし、それによってネーマン模型に対する新たなハミルトニアン形式を導出すること。

提案手法

• ノネルポテン型スカラー場理論からの力学的還元に基づき、Rajeev-Ranken模型のハミルトニアンおよびラグランジアン形式を導出する。
• 位相空間上でのダーブォー座標を同定し、ポアソン構造を単純化し、可積分性解析を容易にする。
• ラクス対と古典的r行列を構成することで、モデルの可積分構造を特徴付ける。
• 退化したポアソンペンシルを分析することで、系の代数的および幾何的制約を理解する。
• カシミール関数および可換な保存量を同定し、関数的独立性を示すことでリウヴィル可積分性を確認する。
• 正準変換を介してRajeev-Ranken模型とネーマン模型との間の写像を確立し、それによってネーマン模型の新たなハミルトニアン形式を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Rajeev-Ranken模型は一貫したハミルトニアン形式を有するか？その背後にあるポアソン構造は何か？
• RQ2 リウヴィル可積分性を保証する十分な数の可換な保存量が存在するか？
• RQ3 保存量は元の場理論におけるノネル対称性とどのように関係しているか？
• RQ4 古典的r行列および退化したポアソンペンシルは、モデルにおいて幾何的・代数的にどのような役割を果たすか？
• RQ5 モデルの構造を用いて、ネーマン模型に対する新たなハミルトニアン形式を導出できるか？

主な発見

• Rajeev-Ranken模型は、可換関係を満たす関数的に独立な保存量の完全集合が存在するため、リウヴィル可積分であることが示された。
• 保存量は、元の場理論の対称性に対応するノネルチャージとして同定され、物理的意味の重要性が確認された。
• ダーブォー座標が明示的に構成され、ポアソン括弧構造が単純化され、系の運動の体系的解析が可能になった。
• 退化したポアソンペンシルが同定され、位相空間の背後にある代数的構造が明らかになった。
• ラクス対および古典的r行列が導出され、モデルの可積分性が確認され、運動方程式の解法に役立つツールが得られた。
• Rajeev-Ranken模型との正準変換を介して、ネーマン模型に対する新たなハミルトニアン形式が発見された。