[論文レビュー] On the hardness of the decoding and the minimum distance problems for rank codes

Philippe Gaborit, Zemor Gilles|arXiv (Cornell University)|Apr 14, 2014

Coding theory and cryptography参考文献 11被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、拡張体上のランク距離コードへのハミング距離コードからの確率的埋め込みを用いて、ランク符号におけるランクシンダムデコーディング（RSD）およびランク最小距離（RMD）問題の計算的困難性を確立する。もし両問題のいずれかがZPPに属するならば、NP = ZPPであることが示され、これはこれらの問題が有効に解ける可能性が低いことを示唆する。さらに、この結果は問題の近似版へと拡張される。

ABSTRACT

In this paper we give a randomized reduction for the Rank Syndrome Decoding problem and Rank Minimum Distance problem for rank codes. Our results are based on an embedding from linear codes equipped with Hamming distance unto linear codes over an extension field equipped with the rank metric. We prove that if both previous problems for rank metric are in ZPP = RP$\cap$coRP, then we would have NP=ZPP. We also give complexity results for the respective approximation problems in rank metric.

研究の動機と目的

• ランク符号におけるランクシンダムデコーディング（RSD）およびランク最小距離（RMD）問題の計算複雑性を調査すること。
• これらの問題がZPP（ゼロエラーを伴うランダムな多項式時間）に属するかどうかを特定すること。これによりNP = ZPPが導かれる。
• ランク距離における近似問題への困難性の結果を拡張すること。
• ランク距離問題の複雑性とNPやZPPなどの基本的な複雑性クラスとの関係を確立すること。
• 体の拡張埋め込みを活用して、ハミング距離問題からランク距離問題への確率的還元を構築すること。

提案手法

• 確率的埋め込みにより、ハミング距離を持つ小さな体上の線形符号を、拡張体上のランク距離を持つ線形符号に写像する。
• この埋め込みは符号の構造を保ちつつ、基本体上の行列表現を用いてハミング距離をランク距離に変換する。
• 拡張体の基底を用いてF_{Q}の要素をF_q^m内のベクトルとして表現し、関連する行列のランクとしてランク重みを定義する。
• 証拠構築技法を用いて、RSDまたはRMDがRPに属するならばNP ⊆ RPであり、結果としてNP = ZPPであることを示す。
• 近似問題に対しては、ランク距離におけるGapRMDPおよびGapRNCPを定義し、同じ埋め込みを用いてハミング近似問題からの困難性を転送する。
• 近似問題がcoRPに属するならば、NP = ZPPであることを示すために、非忠実なランダム（UR）還元フレームワークを用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ランク符号におけるランクシンダムデコーディング問題がZPPに属するか。また、それらが属するならば複雑性クラスにどのような意味があるか。
• RQ2 ランク符号におけるランク最小距離問題がZPPに属するか。もし属するならば、その結果は何か。
• RQ3 ランク距離における最小距離およびデコーディング問題の困難性を、ハミング距離におけるそれらの対応問題から還元できるか。
• RQ4 ランク距離におけるRSDおよびRMD問題の近似版の複雑性は何か。
• RQ5 ハミング距離および格子問題において知られているように、ランクデコーディングおよび最小距離問題に対して決定的還元を構築できるか。

主な発見

• ランク符号におけるランクシンダムデコーディング問題がZPPに属するならば、NP = ZPPである。これは、多項式階層が崩壊しない限り、問題が計算的に困難であることを示唆する。
• 同様に、ランク符号におけるランク最小距離問題がZPPに属するならば、NP = ZPPである。これは、問題の不活性性に対する強い証拠を提供する。
• ハミング距離からランク距離への還元は、体の拡張に基づく確率的埋め込みを用いる。この埋め込みにより、ハミング重み付き符号がランク重み付き符号に写像される。
• ランク距離における近似問題GapRMDPおよびGapRNCPは、確率的還元のもとでNP困難であることが示され、もしcoRPで解けるならばNP = ZPPである。
• 最小距離問題の還元にはnに線形に比例する次数の体の拡張が必要であり、デコーディング問題には二次の拡張が必要である。これは、還元における構造的非対称性を示している。
• 結果はプロミス問題へと拡張され、定数因子内でランク距離における最小距離や最近傍符号を近似することでさえ、NP = ZPPでない限り困難であることが示された。