[論文レビュー] On the Hausdorff dimension of invariant measures for multicritical circle maps

Frank Trujillo|arXiv (Cornell University)|Oct 16, 2019

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 17被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、周期点のないC³マルチ臨界円写像の唯一の不変測度のハウスドルフ次元に対して明示的な上限と下限を確立し、それが回転数のディオファントス的性質にのみ依存することを示している。動的分割とフロストマンの補題を用いて、ディオファントスクラスDτに属する回転数に対して、次元が1/(2τ + ν)以上であることを証明し、非ディオファントス的数に対しては1/(τ + 1)以下であることを示しており、円周上における特異な不変測度の明確な定量的推定を与える。

ABSTRACT

We give explicit bounds for the Hausdorff dimension of the unique invariant measure of $C^3$ multicritical circle maps without periodic points. These bounds depend only on the arithmetic properties of the rotation number.

研究の動機と目的

• C³マルチ臨界円写像で無理数回転数をもつ場合の、唯一の不変測度のハウスドルフ次元に対する定量的境界を確立すること。
• ハウスドルフ次元が回転数のディオファントス的性質、特にディオファントス条件におけるタイプτにどのように依存するかを分析すること。
• 連分数係数の成長と帰還時間との関係を通じて、不変測度の特異性を調査すること。
• 測度論的技法を用いて、有界型でない回転数に対して特異性を構成的に証明すること。
• ユニ臨界写像に関する既知の結果をマルチ臨界の場合に一般化し、次元が回転数と臨界性構造によって決定されることを示すこと。

提案手法

• 臨界点に関連する動的分割における区間の繰り返し写像を用いて、µ-測度が1である集合Anγの列を構成する。
• フロストマンの補題を適用し、µ-測度の局所的スケーリングとハウスドルフ次元を関連づけ、log µ(Bǫ(x)) / log ǫ の点毎のliminf推定を用いる。
• 連分数の再帰的構造と帰還時間qnを用いて、動的分割における区間のサイズと測度を制御する。
• 定理2.1における定数Mを用いて、反復写像の歪度をバインドし、区間の長さと測度に対する一様な制御を保証する。
• 構成された集合Anγの直径と測度を分析することで上界を導出し、d > 1/(τ + 1)に対してそのハウスドルフ内容が0に収束することを示す。
• 小球の最小測度を推定することで下界を導出し、連分数係数anと帰還時間qnの成長を用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 C³マルチ臨界円写像の唯一の不変測度のハウスドルフ次元は、その回転数のディオファントス的タイプにどのように依存するか？
• RQ2 回転数がディオファントス的でない場合のハウスドルフ次元の鋭い上界は何か？また、その指数τとはどのように関係するか？
• RQ3 回転数がタイプτのディオファントス的数である場合のハウスドルフ次元の鋭い下界は何か？また、連分数係数にどのように依存するか？
• RQ4 区間の歪度と帰還時間に基づく測度論的議論により、不変測度の特異性を回復できるか？
• RQ5 臨界点とその臨界性は次元の境界にどのように影響するか？また、次元は回転数とその算術的性質によってのみ決定されるのか？

主な発見

• 任意のC³マルチ臨界円写像について、回転数がDτに属する場合、その唯一の不変測度のハウスドルフ次元は、dimH(µ) ≥ 1/(2τ + ν) を満たす。ここでνは回転数と臨界性構造に依存する。
• 回転数が任意のτ > 0に対してDτに属さない場合、ハウスドルフ次元はdimH(µ) ≤ 1/(τ + 1) で上界で抑えられ、τは連分数係数の成長によって定まる。
• 構成された集合Anγは、nが増加するにつれてµ-測度が1に近づき、d > 1/(τ + 1)に対してそのハウスドルフ内容が0に収束する。これにより上界が証明される。
• 下界は、µ-ほとんど everywhereのxについて、log µ(Bǫ(x)) / log ǫ のliminfが1/(2τ + ν1 + ν2 log M) 以上である点での局所的推定から導出される。ここでν1とν2は連分数の成長によって定義される。
• 系3.2は、有界型でない回転数に対して、不変測度がLebesgue測度に対して特異的であることを示しており、これはカーンシンの結果を新しい方法で回復する。
• 境界は明示的であり、回転数のディオファントス的タイプと写像の臨界性にのみ依存する。これは、C³カテゴリーにおいて次元が共役不変量である可能性を示唆する。