[논문 리뷰] On the Hedging of Options On Exploding Exchange Rates

Peter Carr, Travis C. Fisher외 1명|arXiv (Cornell University)|2012. 02. 28.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 38인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 환율이 엄격한 국지 마팅글의 역동성을 따르는 경우(일반적으로 초인플레이션 위험과 관련됨)를 고려하여, 유로와 달러의 두 수단 측도 하에서의 공동 슈퍼리플리케이션 비용을 사용하여 옵션에 대한 새로운 가격 결정 연산자를 제안한다. 이 방법은 최소한의 비용으로 당행 계약을 복제할 수 있도록 보장함으로써 Put-Call 평형과 국제 Put-Call 등가성을 복원하며, 환율이 마팅글 성질을 갖지 못하더라도 두 통화 간 일관성이 유지된다.

ABSTRACT

We study a novel pricing operator for complete, local martingale models. The new pricing operator guarantees put-call parity to hold for model prices and the value of a forward contract to match the buy-and-hold strategy, even if the underlying follows strict local martingale dynamics. More precisely, we discuss a change of numéraire (change of currency) technique when the underlying is only a local martingale modelling for example an exchange rate. The new pricing operator assigns prices to contingent claims according to the minimal cost for superreplication strategies that succeed with probability one for both currencies as numéraire. Within this context, we interpret the lack of the martingale property of an exchange-rate as a reflection of the possibility that the numéraire currency may devalue completely against the asset currency (hyperinflation).

연구 동기 및 목표

• 환율이 엄격한 국지 마팅글이 되는 모델에서 Put-Call 평형과 국제 Put-Call 등가성이 붕괴되는 문제를 해결하기 위해.
• 한 통화가 완전히 평가절하될 수 있는(초인플레이션의) 시장에서 옵션 가격 결정에 대한 헤지 기반의 엄밀한 정당성을 제공하기 위해.
• 국내 및 해외 통화 측도 하에서 당행 계약의 최소 슈퍼리플리케이션 비용을 기반으로 한 가격 결정 연산자를 구축하기 위해.
• 새로운 수단이 사라질 수 있는 경우(예: 초인플레이션로 인해) 수단 변경을 다룰 수 있도록 확률적 미분과 측도 이론을 확장하기 위해.
• 공동 슈퍼리플리케이션 가능성이 보장되는 조건과 최소 비용이 제안된 가격 결정 연산자와 일치하는 조건을 설정하기 위해.

제안 방법

• 환율이 엄격한 국지 마팅글일지라도, 국내 및 해외 통화를 모두 헤지 수단으로 사용하는 이중 수단 프레임워크를 도입한다.
• 국내 및 해외 위험 중립 측도 하에서 확률 1로 성공하는 공동 슈퍼리플리케이션 전략의 최소 비용으로 새로운 가격 결정 연산자를 정의한다.
• 비음수 국지 마팅글에 대해 Föllmer 측도 구성 기법을 적용하여, 수단이 사라질 수 있는 경우에도 이를 확장함으로써 수단 변경 기법을 가능하게 한다.
• 국소화 추론과 확률 미분을 사용하여, 적절한 적분 조건 하에서 새로운 측도 하에서 변환된 과정이 여전히 국지 마팅글임을 보여준다.
• 두 수단 모두에서의 역동성을 유지하는 수단 변경을 통해 최소 공동 슈퍼리플리케이션 비용과 제안된 가격 공식 간의 등가성을 확립한다.
• 새로운 측도의 라돈-니코딤 도함수를 사용하여 최소 비용의 일반 공식을 유도하며, 이를 통해 구매-보유 포지션의 가격과의 일관성을 보장한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 환율이 엄격한 국지 마팅글이 되는 모델에서 Put-Call 평형은 어떻게 복원할 수 있는가?
• RQ2 국내 및 해외 통화를 모두 수단으로 사용할 때, 한 통화가 완전히 평가절하될 수 있는 상황에서 당행 계약의 최소 슈퍼리플리케이션 비용은 얼마인가?
• RQ3 환율이 마팅글 성질을 갖지 못하더라도, 두 통화 측도를 모두 존중하는 일관된 가격 결정 연산자를 구성할 수 있는가?
• RQ4 새로운 수단이 사라질 수 있는 경우(예: 초인플레이션로 인해) 수단 변경을 뒷받침하는 수학적 프레임워크는 무엇인가?
• RQ5 공동 슈퍼리플리케이션 전략이 존재하는 조건는 무엇이며, 그 비용이 제안된 가격 결정 연산자와 일치하는 조건는 무엇인가?

주요 결과

• 제안된 가격 결정 연산자는 만기 시 $X_T$ 지급을 약속하는 포지션의 가격이 정확히 $X_0$가 되도록 보장하여, 보유 전략과의 일관성을 회복한다.
• 환율이 엄격한 국지 마팅글이 되는 경우에도, 새로운 가격 결정 연산자 하에서 모델 가격에 대해 Put-Call 평형과 국제 Put-Call 등가성이 복원된다.
• 두 수단 측도 하에서의 최소 공동 슈퍼리플리케이션 비용은 국지 마팅글 측도 하에서의 기대값보다 엄격히 높으며, 완전한 평가절하 위험을 반영한다.
• Föllmer 측도는 비음수 국지 마팅글로 확장되어, 환율이 폭발할 수 있는 새로운 확률 측도를 구성할 수 있게 하며, 이는 초인플레이션에 해당한다.
• 새로운 측도는 원래의 위험 중립 측도와 동치가 아니지만, 절대 연속적이므로 두 측도 모두에서 일관된 확률 미분을 수행할 수 있다.
• 최소 공동 슈퍼리플리케이션 비용은 새로운 측도의 라돈-니코딤 도함수를 포함하는 공식으로 특성화되며, 이는 이전 문헌에서 제안된 가격 결정 연산자와 동치임을 보여주며, 이제는 헤지 기반으로 엄밀히 정당화된다.