[論文レビュー] On the History of the Development of the Nonholonomic Dynamics

А. В. Борисов, И. С. Мамаев|ArXiv.org|Feb 18, 2005

Control and Dynamics of Mobile Robots参考文献 11被引用数 27

ひとこと要約

この論文は、非ホロノミック力学の歴史的発展をたどり、非積分可能な制約をもつ非ホロノミック系へのラグランジュおよびハミルトン法の適用における基礎的な誤りを強調する。ヘルツ、ポincare、そしてコズロフやマルケエフらの後続研究者たちの重要な貢献を指摘し、非ホロノミック系は変分原理を超えた別個の形式的枠組みを必要とし、古くはんたる解析的手法にとどまることなく、現代の計算的手法による分野の進展を提唱する。

ABSTRACT

The main directions in the development of the nonholonomic dynamics are briefly considered in this paper. The first direction is connected with the general formalizm of the equations of dynamics that differs from the Lagrangian and Hamiltonian methods of the equations of motion's construction. The second direction, substantially more important for dynamics, includes investigations concerning the analysis of the specific nonholonomic problems. We also point out rather promising direction in development of nonholonomic systems that is connected with intensive use of the modern computer-aided methods.

研究の動機と目的

• 非ホロノミック力学の歴史的進化を明確にし、非ホロノミック系へのラグランジュ形式およびハミルトン形式の適用における誤解を是正すること。
• H. ヘルツが最初に厳密に指摘したように、変分原理が非ホロノミック系に適用できないという長年の問題を扱うこと。
• 英語圏の科学コミュニティにおいてほとんど知られていないが、コズロフ、ススロフ、マルケエフらロシア研究者たちの、軽視されがちなが重要な貢献を浮き彫りにすること。
• 非ホロノミック力学の発展を古典的解析的手法を超えて進めるために、現代の計算ツール（解析的計算、可視化、数値実験）が不可欠であることを主張すること。
• 非ホロノミック還元およびほぼハミルトニアン形式に再び注目すべきであるが、物理的洞察を曇らせる形式的過剰な構築には注意を喚起すること。

提案手法

• C. ノイマンとE. リンデルーフの初期の研究から、非ホロノミック力学の歴史的発展をたどり、彼らが非ホロノミック系にラグランジュ方程式を誤って適用した事例を検証すること。
• ヘルツによる非ホロノミック力学における変分原理の批判的分析、特に「最短作用の原理」が回転する球体のような系では失敗することを主張した点。
• ポincareが『力学におけるヘルツのアイデア』の論文を通じて、ヘルツのアイデアを拡張し、変分法の概念的・形式的限界を明確化した点を検討すること。
• 1871年にフェラースが導入した不確定乗数を用いた方程式（フェラースの式）を提示し、$ \frac{d}{dt}\left(\frac{\partial T}{\partial \dot{q}_i}\right) - \frac{\partial T}{\partial q_i} = Q_i + \sum_j \lambda_j \frac{\partial f_j}{\partial q_i} $ として表され、制約が速度に関して線形である場合の一般形式としての意義を説明すること。
• ホロノミック制約と非ホロノミック制約の区別を検討する：非ホロノミック制約は微分的かつ非積分可能であり、$ f_i(\mathbf{q}, \dot{\mathbf{q}}, t) = 0 $ として表現され、$ F_i(\mathbf{q}, t) = 0 $ に還元できないこと。
• ヴァアノメック力学やほぼハミルトニアン形式といった現代の形式的枠組みを批判し、それらが物理的根拠に欠け、概念的進展をもたらさないと主張すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 なぜ、ホロノミック力学では成功を収めた変分原理（例：最小作用の原理）は、非ホロノミック系では失敗するのか？
• RQ2 非ホロノミック系へのラグランジュ力学の適用における歴史的根拠と概念的誤りは何か。特に、滑らかに転がる場合の文脈において。
• RQ3 ヘルツとポincareは非ホロノミック制約の基礎的理解にどのように貢献したのか。それらの知見がなぜ長きにわたり無視されたのか。
• RQ4 非積分可能制約が非ホロノミック力学において果たす意義は何か。なぜ、近似的にでもホロノミックとみなすことはできないのか。
• RQ5 コズロフ、ススロフ、マルケエフらロシア研究者の重要な貢献がなぜグローバル科学コミュニティであまり認識されていないのか。それらの貢献は今日の研究においてどのような意味を持つのか。

主な発見

• ヘルツの研究により、非ホロノミック系（例：滑らかに転がる球体）は、最小作用の原理によって記述できないことが立証された。これは、たとえ最小作用の経路が存在しても、系がその経路をたどらないからである。
• 非積分可能な制約をもつ非ホロノミック系へのラグランジュ方程式の適用は、ノイマンとリンデルーフの歴史的誤りが示すように、根本的に誤りである。
• 非ホロノミック制約は本質的に微分的かつ非積分可能であり、$ f_i(\mathbf{q}, \dot{\mathbf{q}}, t) = 0 $ として表現され、座標のみの制約に還元できない。
• フェラースの式（不確定乗数を用いた）は、非ホロノミック力学の最初の一般形式を提供し、運動方程式を体系的に導出するための方法を提示している。
• コズロフ、ススロフ、マルケエフの不変測度および制約の実現可能性に関する研究は、英語圏ではほとんど知られていない。翻訳の不足がその理由である。
• 現代の計算手法（解析的計算、可視化、数値実験）は、純粋に解析的アプローチの限界を超えて非ホロノミック力学を発展させるために不可欠である。