[論文レビュー] On the Hodge group and invariant cycles of a simple Abelian variety with a stable reduction of odd toric rank

Olga V. Oreshkina|arXiv (Cornell University)|Sep 6, 2018

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 3被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、安定還元および奇数のトーリックランクをもつ絶対的単純なアーベル多様体のホッジ群が半単純であることを確立し、さらに追加の条件—具体的には奇数の次元—のもとで、このような多様体に対してホッジ予想が成り立つことを示している。また、曲線上のアーベル層に関して、ホモロジー写像とコホホロジー的ホモロジー関手の間の標準的同型を確立し、この設定においてグロテンディークの不変サイクル予想を裏付けている。

ABSTRACT

The semi-simplicity of the Hodge group is proved for a simple Abelian variety with a stable reduction of odd toric (reductive) rank. If, besides, the dimension of the Abelian variety is an odd integer, then the Hodge conjecture on algebraic cycles holds for it.

研究の動機と目的

• 安定還元および奇数のトーリックランクをもつ絶対的単純なアーベル多様体のホッジ群の構造を調査すること。
• このようなアーベル多様体に対してホッジ予想が成り立つ条件を特定すること。
• 曲線上のアーベル層の間の準同型とその第一コホホロジー層の間の準同型との間の標準的同型を確立すること。
• 安定還元が奇数のトーリックランクをもつ曲線上のアーベル層に対して、グロテンディークの不変サイクル予想が成り立つかを検証すること。

提案手法

• 離散付値環上のアーベル多様体のネロンモデルを用いて、特に特異ファイバーのトーラス成分およびアーベル成分の構造を分析する。
• エタール拡大による基底変換を適用し、特異ファイバーのトーラス成分が残渣体上で完全に分解するように保証する。
• ネロンモデルの普遍性を用いて、一般ファイバーの自己準同型と特異ファイバーの自己準同型を関連付ける。
• 自己準同型代数をℚ上の行列代数へ埋め込む標準的埋め込みを用い、トーリックランクが奇数のときの代数的構造に対する制約を導出する。
• デリーニの定理（モノドロミー表現）および基本群の像のザリスキ閉包を用いて、モノドロミー群とホッジ群との関係を確立する。
• ムスタフィンの定理を適用し、曲線上のアーベル層に関して、ホモロジー写像とコホホロジー的ホモロジー関手の間の標準的同型を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 安定還元および奇数のトーリックランクをもつ絶対的単純なアーベル多様体のホッジ群が半単純となる条件は何か？
• RQ2 このようなアーベル多様体に対してホッジ予想が成り立つのはいつか、特にトーリックランクと次元とに関連して。
• RQ3 曲線上のアーベル層の準同型とその第一コホホロジー層の準同型との間の関係は何か？
• RQ4 安定還元が奇数のトーリックランクをもつ曲線上のアーベル層に対して、グロテンディークの不変サイクル予想は成り立つか？

主な発見

• 安定還元および奇数のトーリックランクをもつ絶対的単純なアーベル多様体のホッジ群は半単純である。
• 自己準同型代数をℚでテンソル積をとったものは、ℚ上での奇数次元の完全実体である。
• アーベル多様体の次元が奇数のとき、複素数体上のホッジ群のリー代数は型 $ C_{g/e} \times \cdots \times C_{g/e} $ をもち、$ e $ 個のコピーを持つ。
• 任意の $ p \neq 0 $ に対して、ホッジサイクルの空間 $ [\bigwedge^{2p} H^1(J, \bbQ)]^{\text{Hg}(J)} $ は、除数の交差類によって生成される。
• このようなアーベル多様体に対してホッジ予想が成り立つ。なぜならホッジサイクルが代数的サイクルによって生成されるからである。
• 安定還元が奇数のトーリックランクをもつ曲線 $ C $ 上のアーベル層 $ \rho_{X/C}: X \to C $ に対して、標準的同型 $ \text{Hom}_C(X,Y) \to \text{Hom}(R_1 \rho_{X/C*}\bbZ, R_1 \rho_{Y/C*}\bbZ) $ が存在し、グロテンディークの不変サイクル予想が成り立つ。