[論文レビュー] On the hypercompetition numbers of hypergraphs

Boram Park, Yoshio Sano|arXiv (Cornell University)|May 31, 2010

Advanced Graph Theory Research参考文献 3被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、超グラフのハイパーキャンペティション数 $hk(\mathcal{H})$ を定義し、その分析を行う。$hk(\mathcal{H})$ は、超グラフ $\mathcal{H}$ が無閉路有向グラフの競争超グラフとして実現可能となるために必要な孤立頂点の最小数として定義される。本稿では、$hk(\mathcal{H})$ に対して一般化された2つの下界を確立し、$r \geq 3$ かつ孤立頂点を含まない $r$-一様で非巡回な超グラフに対して $hk(\mathcal{H}) = 1$ が成り立つことを証明している。さらに、連結グラフの正確なハイパーキャンペティション数は 1 であることが示されている。

ABSTRACT

The competition hypergraph $C{\cH}(D)$ of a digraph $D$ is the hypergraph such that the vertex set is the same as $D$ and $e \subseteq V(D)$ is a hyperedge if and only if $e$ contains at least 2 vertices and $e$ coincides with the in-neighborhood of some vertex $v$ in the digraph $D$. Any hypergraph with sufficiently many isolated vertices is the competition hypergraph of an acyclic digraph. The hypercompetition number $hk(\cH)$ of a hypergraph $\cH$ is defined to be the smallest number of such isolated vertices. In this paper, we study the hypercompetition numbers of hypergraphs. First, we give two lower bounds for the hypercompetition numbers which hold for any hypergraphs. And then, by using these results, we give the exact hypercompetition numbers for some family of uniform hypergraphs. In particular, we give the exact value of the hypercompetition number of a connected graph.

研究の動機と目的

• ハイパーキャンペティション数 $hk(\mathcal{H})$ を定義し、その性質を調査する。$hk(\mathcal{H})$ は、超グラフ $\mathcal{H}$ が無閉路有向グラフの競争超グラフとして実現可能となるために必要な孤立頂点の最小数として定義される。
• すべての超グラフに適用可能な、$hk(\mathcal{H})$ の一般化された下界を確立する。
• 特に $r$-一様超グラフで閉路がなく孤立頂点を含まないような特定の族に対して、$hk(\mathcal{H})$ の正確な値を同定する。
• 連結グラフのハイパーキャンペティション数を解明し、それが正確に 1 であることを示す。

提案手法

• 有向グラフ $D$ の競争超グラフ $C\mathcal{H}(D)$ を、$D$ の各頂点のイン・ネighborhood を超辺とする超グラフとして定義する。
• 与えられた超グラフ $\mathcal{H}$ から、新しい頂点 $v_0$ を追加し、各超辺 $e_i$ のすべての辺を指定された頂点 $v_{i-1}$ に向かって向き付けることで、無閉路有向グラフ $D$ を構成する。頂点の順序付けにより閉路が生じないことを保証する。
• 補題 2.9 を用いて、$r$-一様で閉路のない超グラフの構造的制約を導出する。
• 連結成分の数に関する帰納法を用いて、$r$-一様で閉路がなく孤立頂点を含まない超グラフに対して $hk(\mathcal{H}) = 1$ を証明する。
• 無閉路 $r$-一様超グラフにおける次数 1 の頂点の存在と、$n = (r-1)t + 1$ の関係を用いて、次数 1 の頂点の数に関する下界を導出する。
• 無閉路有向グラフの構成と頂点の再順序付けを組み合わせ、$\mathcal{H}$ を競争超グラフとして実現するために孤立頂点を1つ追加するだけで十分であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意の超グラフに対して、ハイパーキャンペティション数 $hk(\mathcal{H})$ の一般化された下界は何か？
• RQ2 どの一様超グラフ族に対して $hk(\mathcal{H})$ の正確な値を同定できるか？
• RQ3 連結グラフのハイパーキャンペティション数は何か？
• RQ4 $r$-一様超グラフで $r \geq 3$ のとき、$hk(\mathcal{H}) = 1$ が成り立つ条件は何か？

主な発見

• 孤立頂点を含まない任意の超グラフ $\mathcal{H}$ に対して、補題 2.3 より $hk(\mathcal{H}) \geq 1$ が成り立つ。
• $r \geq 3$ で、孤立頂点を含まず、閉路のない任意の $r$-一様超グラフ $\mathcal{H}$ に対して $hk(\mathcal{H}) = 1$ が成り立つ。
• 連結グラフのハイパーキャンペティション数は正確に 1 である。これは定理 2.10 と補題 2.8 の構成により確立されている。
• 超グラフ $\mathcal{H}$ に孤立頂点が含まれる場合、$hk(\mathcal{H}) = 0$ となるのは、孤立頂点を除いたコア超グラフ $\mathcal{H}_0$ に対して $hk(\mathcal{H}_0) = 0$ が成り立つときのみであるが、$\mathcal{H}_0$ に孤立頂点がない場合にはそのような状況にはならない。
• $n$ 頂点と $t$ 個の超辺を持つ $r$-一様で無閉路の超グラフにおいて、次数 1 の頂点の数 $q$ は $q \geq (r-2)t + 2$ を満たす。この不等式は $hk(\mathcal{H}) = 1$ の下界を支持する。
• 頂点の順序 $v_n, \dots, v_1, v_0$ を用いた構成により、$C\mathcal{H}(D) = \mathcal{H} \cup \{v_0\}$ を満たす無閉路有向グラフ $D$ を構成できる。この構成により、無閉路性が保証され、$hk(\mathcal{H}) \leq 1$ が確認される。