[論文レビュー] On the images of the Galois representations attached to genus 2 Siegel modular forms

Luís Dieulefait|ArXiv.org|Sep 25, 2001

Advanced Algebra and Geometry参考文献 11被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、レベル1で重複度1の genus 2 Siegel cusp form に対して、Galois表現の像がほとんどすべての素数において最大であることを示している。形式が Maass spezialform ではなく、そのFourier係数の生成する体に関する追加条件を満たす限り、像は最大の symplectic 群 $ A_{\theta}^k $ に等しい。証明は、$ \mathrm{PGL}(4,\mathbb{F}_q) $ の最大部分群の分類、Fontaine–Laffaille理論による単位根部分群の像の記述、および2次元表現に対するSerreの予想を組み合わせている。

ABSTRACT

We address the problem of the determination of the images of the Galois representations attached to genus 2 Siegel cusp forms of level 1 having multiplicity one. These representations are symplectic. We prove that the images are as large as possible for almost every prime, if the Siegel cusp form is not a Maass spezialform and verifies two easy to check conditions.

研究の動機と目的

• レベル1で重複度1の genus 2 Siegel cusp form に付随するGalois表現の像を特定すること。
• これらの symplectic Galois表現が $ \mathrm{GSp}(4,\overline{\mathbb{Q}}_\ell) $ において最大の像をとるための条件を確立すること。
• Serreの予想と追加の数論的条件を仮定したもとで、ほとんどすべての素数 $ \lambda $ に対して像が $ A_{\lambda}^k $ に等しいことを証明すること。
• Fourier係数の判別式に関する条件を導入することで、Serreの予想に依存しないようにすること。この条件は明示的な例で検証可能である。
• もし残余表現が無限個の $ \lambda $ に対して可約であるならば、$ \lambda $-adic 表現も可約であることが示され、主仮定のもとで矛盾が生じることを示すこと。

提案手法

• $ \mathrm{PGL}(4,\mathbb{F}_q) $ の最大部分群の分類を用いて、可能な像の還元を分析する。
• Hodge–Tate分解に基づき、単位根部分群 $ I_\ell $ の像を記述する Fontaine–Laffaille 理論を適用する。
• 奇数で非可約な2次元Galois表現に対するSerreの予想を用いて、残余表現のモジュラー性を導出する。
• 擬代表表現とパッチング補題を用いて、局所データからグローバルなGalois表現を構成する。
• [3] に含まれる補題を応用し、$ \lambda $-adic 表現が $ E_\lambda $ 上に定義されていなくても、mod-$ \lambda $ 残余表現を定義する。
• 非可約な場合におけるテンソル分解の一意性を用いて、$ \rho_{f,\lambda} $ の半単純化が、同じ行列式 $ \chi^{2k-3} $ を持つ2つの2次元表現の直和であることを導く。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 レベル1の genus 2 Siegel cusp form に対して、Galois表現の像が最大であるのはどのような条件下か？
• RQ2 残余表現 $ \mathrm{mod}\ \lambda $ の像は、自動形式およびそのFourier係数の構造とどのように関係するか？
• RQ3 Serreの予想を仮定せずに、像の最大性を確立できるか？
• RQ4 $ E = \mathbb{Q}(d_p) $ および $ d_p $ が平方でないという性質が、可約な残余表現を除外するために果たす役割は何か？
• RQ5 $ \mathbb{Q}(d_p) = E $ かつ $ \sqrt{d_p} \notin E $ という条件が、ほとんどすべての素数において像が最大であることを保証するのはどの程度か？

主な発見

• レベル1で重複度1、Maass spezialformでなく、ある素数 $ p $ に対して $ \mathbb{Q}(d_p) = E $、$ \sqrt{d_p} \notin E $ を満たす genus 2 Siegel cusp form に対して、ほとんどすべての素数 $ \lambda $ に対して $ \rho_{f,\lambda} $ の像は $ A_{\lambda}^k $ に等しい。
• 残余表現 $ \bar{\rho}_{f,\lambda} $ の像は $ \{ g \in \mathrm{GSp}(4,\mathbb{F}_\lambda) \mid \det(g) \in (\mathbb{F}_\ell^*)^{4k-6} \} $ に含まれ、その射影的像は残余次数に応じて $ \mathrm{PGL}(4,\mathbb{F}_\lambda) $ または $ \mathrm{PGSp}(4,\mathbb{F}_\lambda) $ に属する。
• もし残余表現 $ \bar{\rho}_{f,\lambda} $ が無限個の $ \lambda $ に対して可約であるならば、$ \lambda $-adic 表現 $ \rho_{f,\lambda} $ もすべての $ \lambda $ に対して可約であることが示され、最大性の仮定と矛盾する。
• $ \mathbb{Q}(d_p) = E $ かつ $ \sqrt{d_p} \notin E $ という条件により、$ \ell \nmid \mathrm{disc}(d_p) $ かつ $ d_p \notin (\mathbb{F}_\lambda)^2 $ を満たすすべての $ \lambda $ に対して $ \bar{\rho}_{f,\lambda} $ は非可約であることが保証され、これは無限個の $ \lambda $ に対して成り立つ。
• Fourier係数の $ d_p $ に関する条件が満たされていれば、Serreの予想に依存せず、擬代表表現のパッチング技術により結果が得られる。
• Skoruppaの形式の例は、必要な条件を満たしており、したがってほとんどすべての素数においてそのGalois表現の像は最大である。