[論文レビュー] On the inference about the spectral distribution of high-dimensional covariance matrix based on high-frequency noisy observations

Ningning Xia, Xinghua Zheng|arXiv (Cornell University)|Apr 13, 2016

Random Matrices and Applications参考文献 4被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、高次元のディファージョン過程における統合共分散行列（ICV）のスペクトル分布を、高周波ノイズ付きデータから一貫して推定する2段階的手順を開発する。信号＋ノイズの標本共分散行列とその極限スペクトル分布との間の漸近的関係を確立することで、標準的な Marčenko-Pastur 方程式を用いて、高次元漸近的枠組み下で一貫した推定が可能となる、ノイズの影響を効果的に排除するロバストな推定量を提案する。

ABSTRACT

In practice, observations are often contaminated by noise, making the resulting sample covariance matrix a signal-plus-noise sample covariance matrix. Aiming to make inferences about the spectral distribution of the population covariance matrix under such a situation, we establish an asymptotic relationship that describes how the limiting spectral distribution of (signal) sample covariance matrices depends on that of signal-plus-noise-type sample covariance matrices. As an application, we consider inferences about the spectral distribution of integrated covolatility (ICV) matrices of high-dimensional diffusion processes based on high-frequency data with microstructure noise. The (slightly modified) pre-averaging estimator is a signal-plus-noise sample covariance matrix, and the aforementioned result, together with a (generalized) connection between the spectral distribution of signal sample covariance matrices and that of the population covariance matrix, enables us to propose a two-step procedure to consistently estimate the spectral distribution of ICV for a class of diffusion processes. An alternative approach is further proposed, which possesses several desirable properties: it is more robust, it eliminates the effects of microstructure noise, and the asymptotic relationship that enables consistent estimation of the spectral distribution of ICV is the standard Marcenko-Pastur equation. The performance of the two approaches is examined via simulation studies under both synchronous and asynchronous observation settings.

研究の動機と目的

• 高次元のディファージョン過程において、観測値がマイクロ構造ノイズによって汚染されている状況下で、統合共分散行列（ICV）のスペクトル分布を推定する課題に対処すること。
• 信号＋ノイズの標本共分散行列の極限スペクトル分布と、元の信号のみの標本共分散行列の極限スペクトル分布との間の漸近的関係を確立すること。
• 高次元漸近的枠組み（p, n → ∞ かつ p/n → y ∈ (0, ∞)）下で、ICV のスペクトル分布を一貫して推定する2段階推定手順を開発すること。
• マイクロ構造ノイズの影響を排除するよりロバストな代替手法を提案し、標準的な Marčenko-Pastur 方程式を用いて一貫した推定を可能とすること。

提案手法

• 信号＋ノイズの標本共分散行列の極限スペクトル分布が、信号のみの標本共分散行列の極限スペクトル分布にどのように依存するかを記述する漸近的関係を導出する。
• 信号の標本共分散行列のスペクトル分布と母集団共分散行列との間の一般化された関係を応用し、2段階推定手順を構築する。
• 事前に平均化推定量（pre-averaging estimator）を用い、これが信号＋ノイズの標本共分散行列としてモデル化されることを示す。
• ノイズの影響を排除する変換を適用した代替推定量を提案し、これにより標準的な Marčenko-Pastur 方程式を用いた一貫した推定が可能になるようにする。
• スティルチェス変換とリゾルベント技術を用いて、極限スペクトル分布の分析と高次元漸近的枠組み下での収束の証明を行う。
• 複素上半平面における緊密性と一意性の議論に依拠し、経験的スペクトル分布のスティルチェス変換が真の極限変換にほとんど確実に収束することを確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 高次元設定下で、信号＋ノイズの標本共分散行列の極限スペクトル分布は、元の信号のみの標本共分散行列の極限スペクトル分布とどのように関係するか？
• RQ2 高周波データがマイクロ構造ノイズによって汚染されている状況下でも、統合共分散行列（ICV）のスペクトル分布を一貫して推定する2段階手順を開発できるか？
• RQ3 標準的な Marčenko-Pastur 方程式を用いて一貫した推定が可能であり、かつマイクロ構造ノイズの影響を排除するよりロバストな代替推定アプローチが存在するか？
• RQ4 同期的および非同期的観測スキームの両方において、提案された推定量の有限標本性能特性はいかなるものか？

主な発見

• 提案された2段階手順は、観測値がマイクロ構造ノイズによって汚染されていても、高次元漸近的枠組み下で ICV 行列のスペクトル分布を一貫して推定可能である。
• 代替推定量はマイクロ構造ノイズの影響を効果的に排除し、標準的な Marčenko-Pastur 方程式を用いた一貫した推定が可能になる。
• シミュレーション研究により、両手法が同期的および非同期的観測設定の両方で良好に機能することが確認され、代替手法がより優れたロバスト性を示している。
• 信号＋ノイズと信号のみのスペクトル分布の間の漸近的関係が厳密に確立され、ノイズが混入した高周波データにおける一貫した推論が可能になる。
• 事前に平均化された推定量の経験的スペクトル分布のスティルチェス変換が、真の極限変換にほとんど確実に収束することが示され、スペクトル分布推定量の一貫性が保証される。