[論文レビュー] On the inner structure of a permutation: Bicolored Partitions and Eulerians, Trees and Primitives

Adrian Ocneanu|arXiv (Cornell University)|Apr 4, 2013

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 33被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、指定された上昇と下降をもつ二色セットとしての族への置換の双対的分解を導入し、原始的置換の標準的木構造を可能にする。主な貢献は、置換の再順序付けをシャッフルとペアリング操作に置き換える新しい組合せ的枠組みから導かれる、オイラー数と準順列の明示的加法的マルチノミアル式である。

ABSTRACT

We present a bijective algorithm with which an arbitrary permutation decomposes canonically into elementary blocks which we call families, which are sets with a specified number of ascents and descents. We show that families, arranged in an arbitrary order in a sequence, are in bijection with permutations. The permutation decomposes canonically, by inserting parentheses, into a tree having as nodes a class of permutations which we call primitive. Primitive permutations can be assembled from very simple data. The data for the trees into which a permutation decomposes can be written in a form similar to the decimal classification of a library. We axiomatize that data. It has a structure very different from the permutation which it encodes, with shuffles and pairings instead of reorderings. These structures are similar to the fundamental processes in quantum field theory. Our main bijective structure algorithm gives explicit, additive multinomial formulae for the number of permutations with given sets of elements under and over the diagonal, or with given ascent and descent values. The multinomial expressions obtained this way give a new class of bicolored set statistics, between set partitions and set compositions, called shifted multinomials. These provide for the first time additive multinomial expressions for Eulerian numbers and derangements, as part of a sequence of new combinatorial objects. These multinomial expressions satisfy inductive relations involving only immediate neighbors, similar to the relations satisfied by the Eulerian numbers.

研究の動機と目的

• 指定された上昇・下降回数をもつ基本的構造単位と呼ぶ「族」への置換の標準的分解を構築すること。
• 置換とそのような族の系列との間の双対的対応を確立し、組合せ的データから置換を明示的に構成可能にする。
• 乗法的数論における素数に類似した構築ブロックをなす「原始的」置換の木構造を導入すること。
• 「シフトされたマルチノミアル」と呼ばれる新しい二色セット統計のクラスを用いて、オイラー数と準順列の加法的マルチノミアル式を導出すること。
• 置換のダイナミクスを、細胞分裂や量子場理論の作用素に類似した族の成長と分裂のプロセスとして形式化すること。

提案手法

• 族を、k個の赤（上昇）およびl個の青（下降）要素からなる二色セットと定義し、青は増加順、赤も増加順に並べ、かつすべての青がすべての赤より小さいように順序づける。
• 動的挿入アルゴリズムを用いる：{1,…,n−1}の置換に最大要素nを挿入し、既存の族に適合させたり、仲間を引き抜いて新しい族を形成したり、シングルトンを生成したりする。
• 各ノードが特定の上昇・下降値をもつ活性族と、上位の枝を挿入するための「 bud 」挿入ポイントをもつ原始的置換からなる標準的フォレスト構造を構築する。
• 置換の全情報を、組合せ的ペアリングとシャッフルデータに基づく十進数に類似したコードで符号化し、置換の再順序付けを根本的に異なる組合せ的操作に置き換える。
• 正負の整数列または装飾された下降をもつDyckパスを用いて、木構造のデータを公理化し、原始的置換の直接的構成を可能にする。
• シフトされたマルチノミアル係数を用いて、対角線上に、上、下、および対角線上にある要素の数が与えられた置換の数の加法的マルチノミアル表現を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 置換は、上昇・下降回数が指定された基本的構造単位（族）への標準的分解が可能か？
• RQ2 置換とそのような族の系列との間の双対的対応は何か？ そして、これを用いて置換を明示的に構成できるか？
• RQ3 最大要素の挿入による族の成長と分裂のダイナミクスは、原始的置換の木構造としてどのように形式化できるか？
• RQ4 どのような組合せ的データ（例：Dyckパス、符号付き列）が、置換構造の原始的成分を一意に符号化できるか？
• RQ5 「シフトされたマルチノミアル」と呼ばれる新しい二色セット統計のクラスを用いて、オイラー数と準順列の加法的マルチノミアル式を導出できるか？

主な発見

• 1,…,n の置換のうち、n₁ 個のシングルトンと、i 個の上昇と j 個の下降をもつサイズ i+j の族 n_{(i,j)} 個を持つものの数は、次のマルチノミアル式で与えられる：n! / (n₁! ∏(i+j)!^{n_{(i,j)}}) × (Σn_{(i,j)})! / ∏n_{(i,j)}!。
• すべての有効な (n₁, n_{(i,j)}) の配置について、これらのマルチノミアル式の総和は n! に等しく、置換と族への無制限の合成の間の双対性を確認する。
• 得られた二色セット統計—シフトされたマルチノミアル—は、オイラー数と準順列の最初の加法的マルチノミアル式を提供する。
• これらのマルチノミアル式は、直接の近隣要素のみを含む帰納的関係を満たし、オイラー数の再帰的性質に類似している。
• 族の (i,j) 型（i 個の上昇、j 個の下降）ごとの統計的分布は、族の成長と分裂の複雑なダイナミクスに起因して多変量正規分布に従う。
• 置換の構造は、原始的成分のペアリングとシャッフルによって符号化され、置換の再順序付けを、量子場理論の作用素に類似した根本的に異なる組合せ的操作に置き換えている。