[論文レビュー] On the ionization energy of the semi-relativistic Pauli-Fierz model for a single particle

Fumio Hiroshima, Itaru Sasaki|arXiv (Cornell University)|Mar 8, 2010

Spectral Theory in Mathematical Physics参考文献 7被引用数 11

ひとこと要約

本稿は、半相対論的パウリ＝ファイアーマン模型におけるイオン化エネルギーの下界を確立し、すべての結合定数 $ e \in \mathbb{R} $ および静止質量 $ M \geq 0 $（質量なしの場合 $ M = 0 $ を含む）に対して $ E^{\rm ion} \geq e_0 > 0 $ が成り立つことを証明する。この結果は、半相対論的シュレーディンガー作用素 $ H_{\rm p} $ の基底状態エネルギー $ e_0 $ と比較することで得られ、コherent状態と作用素不等式を用いた変分法により光子相互作用エネルギーを制御する。

ABSTRACT

A semi-relativistic Pauli-Fierz model is defined by the sum of the free Hamiltonian $H_{ m f}$ of a Boson Fock space, an nuclear potential $V$ and a relativistic kinetic energy: $$ H=\sqrt{[σ\cdot(\mathbf{p}+e\mathbf{A})]^2+M^2} - M + V + H_{ m f}. $$ Let $-e_0<0$ be the ground state energy of a semi-relativistic Schrödinger operator $$ H_{ m p}=\sqrt{\mathbf{p}^2+M^2} - M + V. $$ It is shown that the ionization energy $E^{ m ion}$ of $H$ satisfies $$E^{ m ion}\geq e_0>0$$ for all values of both of the coupling constant $e\in\mathbb{R}$ and the rest mass $M\geq 0$. In particular our result includes the case of M=0.

研究の動機と目的

• 量子電磁力学における半相対論的パウリ＝ファイアーマン模型のイオン化エネルギーに対する厳密な下界を確立すること。
• 結合定数や質量にかかわらず、イオン化エネルギーが半相対論的シュレーディンガー作用素 $ H_{\rm p} $ の基底状態エネルギー $ e_0 $ の絶対値を上回ることを示すこと。
• 非相対論的モデルで用いられる変分戦略をスピンを含む相対論的状態および質量なしの場合を含めた半相対論的領域に拡張すること。
• 完全モデルのイオン化エネルギーと非相互作用相対論的運動エネルギー系との間の定量的比較を提供すること。

提案手法

• 全ハミルトニアン $ H^V $ を、半相対論的運動エネルギー $ \sqrt{[\boldsymbol{\sigma} \cdot (\mathbf{p} + e\mathbf{A})]^2 + M^2} - M $、核ポテンシャル $ V $、自由光子ハミルトニアン $ H_{\rm f} $ の和として定義する。
• 光子フォック空間におけるcoherent状態と粒子空間における局在波動関数 $ f_0 $ を用いて、試行ベクトル $ \Phi_{\mathbf{y}} $ の族を構築する。
• 変分原理を用いて、スペクトルの下限 $ E^V = \inf \mathrm{Spec}(H^V) $ を試行ベクトルの期待値 $ \langle \Phi_{\mathbf{y}}, H^V \Phi_{\mathbf{y}} \rangle $ で上から抑える。
• 作用素不等式を適用して光子相互作用項を制御し、$ \mathbf{A} $ によるエネルギーシフトが $ \sqrt{\mathbf{k}^2 + M^2} - M $ で有界であることを示す。
• 作用素 $ \Omega_{\mathbf{A}}(\mathbf{p}) $ の定義域上で、次の基本的不等式を導出する： \\ $ \frac{1}{2} \left[ \Omega_{\mathbf{A}}(\mathbf{p}+\mathbf{k}) + \Omega_{\mathbf{A}}(\mathbf{p}-\mathbf{k}) - 2\Omega_{\mathbf{A}}(\mathbf{p}) \right] \leq \sqrt{\mathbf{k}^2 + M^2} - M $。
• この不等式を用いて、$ \int d\mathbf{y} \langle \Phi_{\mathbf{y}}, H^V \Phi_{\mathbf{y}} \rangle \leq \langle F_0, H^0 F_0 \rangle + \langle f_0, H_{\rm p} f_0 \rangle $ を示し、最終的なエネルギー比較に至る。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 結合定数 $ e \in \mathbb{R} $ および静止質量 $ M \geq 0 $（$ M = 0 $ を含む）に対して、半相対論的パウリ＝ファイアーマン模型のイオン化エネルギーが常に正であるか。
• RQ2 対応する半相対論的シュレーディンガー作用素 $ H_{\rm p} $ の基底状態エネルギー $ e_0 $ によって、イオン化エネルギーが下から抑えられるか。
• RQ3 非相対論的モデルで用いられる変分法が、スピンと質量なし粒子を含む半相対論的領域へ拡張可能か。
• RQ4 量子化された電磁場との相互作用が、相対論的設定における束縛状態の安定性にどのように影響するか。

主な発見

• イオン化エネルギー $ E^{\rm ion} = E^0 - E^V $ は、すべての $ e \in \mathbb{R} $ および $ M \geq 0 $（$ M = 0 $ の質量なしの場合を含む）に対して $ E^{\rm ion} \geq e_0 > 0 $ を満たす。
• 下界 $ e_0 $ は、半相対論的シュレーディンガー作用素 $ H_{\rm p} = \sqrt{\mathbf{p}^2 + M^2} - M + V $ の基底状態エネルギーの絶対値である。
• 作用素不等式 $ \frac{1}{2} \left[ \Omega_{\mathbf{A}}(\mathbf{p}+\mathbf{k}) + \Omega_{\mathbf{A}}(\mathbf{p}-\mathbf{k}) - 2\Omega_{\mathbf{A}}(\mathbf{p}) \right] \leq \sqrt{\mathbf{k}^2 + M^2} - M $ は、$ \Omega_{\mathbf{A}}(\mathbf{p}) $ の定義域上で成り立ち、証明の中心的役割を果たす。
• coherent状態を用いた変分法により、光子寄与がうまく制御され、電磁場によるエネルギーシフトが相対論的運動エネルギーの差で有界であることが示された。
• 結合定数 $ e $ の強さに依存せず結果が成り立つため、半相対論的領域における束縛状態の安定性が強く保証される。
• 証明手法は、[1] の非相対論的戦略を相対論的状態へ拡張し、今後のSRPFモデルにおける基底状態の存在証明のための枠組みを提供する。