[論文レビュー] On the Iwasawa theory of p-adic Lie extensions

Otmar Venjakob|ArXiv.org|Jun 8, 2001

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 17被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、非可換 Iwasawa 環を用いて p-進 Lie 拡大に対する Iwasawa 理論を展開し、Galois 加群を研究するための主要な同値関係として擬似同型を導入する。Selmer 群およびその拡大におけるアーベル・多様体の類群が Ext 加群と密接に関係していることが示され、主な結果として、双対 Selmer 群と単数の Galois 加群が、ねじれと双対性を除いて擬似同型であることが示される。

ABSTRACT

In this paper the new techniques and results concerning the structure theory of modules over non-commutative Iwasawa algebras are applied to arithmetic: we study Iwasawa modules over p-adic Lie extensions K of number fields k "up to pseudo-isomorphism". In particular, a close relationship is revealed between the Selmer group of abelian varieties, the Galois group of the maximal abelian unramified p-extension of K as well as the Galois group of the maximal abelian outside S unramified p-extension where S is a finite set of certain places of k. Moreover, we determine the Galois module structure of local units and other modules arising from Galois cohomology.

研究の動機と目的

• 非可換 p-進 Lie 拡大への Iwasawa 理論の拡張を、非可換 Iwasawa 環上の加群の構造論を用いて行う。
• 擬似同型を除いて、Selmer 群、類群、および単数の Galois 加群構造を理解すること。
• Z_p-拡大における古典的結果を、特にアーベル・多様体の文脈でより一般の p-進 Lie 群へ一般化すること。
• Ext ファンクターを用いて、最大のアーベル的非分岐 p-拡大の Galois 加群と双対 Selmer 群の間の関係を確立すること。
• これらの加群が捩れ自由であるか、非自明な擬似零部分加群を持たないための条件を特定すること。

提案手法

• p-捩れのないコンパクトな p-進 Lie 群 G に対して、Iwasawa 環 $\Lambda(G)$ 上の擬似零加群の概念を適用する。
• 擬似零加群の Serre 部分カテゴリ $\mathcal{PN}$ を用いた商カテゴリ $\Lambda\text{-mod}/\mathcal{PN}$ を定義し、擬似同型を用いた同値関係を定義する。
• Auslander 正則環論を用いて $\Lambda(G)$-加群の構造を分析し、特にコhomological 次元および $H^2$ の消滅に関する関係を調べる。
• Iwasawa 双対 $\mathrm{E}^1(M) = \mathrm{Ext}^1_{\Lambda}(M, \Lambda)$ を用いて、双対 Selmer 群と類群を関連付ける。
• 誘導および制限ファンクター $\mathrm{Ind}^G_{G_\nu}$ を用いて、グローバル加群の局所成分を分析する。
• Néron-Ogg-Shafarevich の基準および Imi の定理を適用して、$S_{\text{bad}} \cup S_p$ に属する場所における Gaois 群の非自明性を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Galois 加群 $X_S$ が最大のアーベル的 p-拡大で $S$ を除いて非分岐であるとき、非自明な擬似零部分加群を持たないための条件は何か？
• RQ2 p-進 Lie 拡大において、アーベル多様体の Selmer 群と単数の Galois 加群はどのように関係しているか？
• RQ3 対合 $g \mapsto g^{-1}$ の下で、双対 Selmer 群が単数の加群と擬似同型であるか？
• RQ4 $\mathrm{H}^1(G_S(k_\infty), \mathcal{A}(p))^\vee$ が非自明な擬似零部分加群を持たないための条件は何か？
• RQ5 古典的 Iwasawa 定理（類群と双対 Selmer 群の関係）を非アーベル的 p-進 Lie 拡大へ一般化できるか？

主な発見

• もし $H^2(G_S(k_\infty), \mathbb{Q}_p/\mathbb{Z}_p) = 0$ であれば、$X_S$ は非自明な擬似零部分加群を持たない。
• $\mu_p^\infty \subseteq k_\infty$ かつすべての $\nu \in S_f$ に対して $\dim(G_\nu) \geq 2$ である限り、$X_{nr}(-1) \sim X_{cs}^S(-1) \sim \mathrm{E}^1(\mathrm{tor}_\Lambda X_S)$ が成り立つ。
• $G \cong \mathbb{Z}_p^r$ かつ $r \geq 2$ であれば、$X_{nr}(-1) \sim X_{cs}^S(-1) \sim (\mathrm{tor}_\Lambda X_S)^\circ$ が成り立ち、ここで $^\circ$ は逆自己同型によるねじれを表す。
• すべての $p$ 上の場所で良い超特異還元を持つアーベル多様体 $\mathcal{A}$ に対して、$X_{cs}[\mathcal{A}^d(p)] \sim \mathrm{E}^1(\mathrm{tor}_\Lambda(\mathrm{Sel}(\mathcal{A}, k_\infty)^\vee))$ が成り立つ。
• CM 場の場合は、$X_{cs}[\mathcal{A}^d(p)] \sim (\mathrm{tor}_\Lambda(\mathrm{Sel}(\mathcal{A}, k_\infty)^\vee))^\circ$ が成り立ち、Billot の結果が回復される。
• $G$ に $p$-捩れがなければ、$\mathrm{H}^1(G_S(k_\infty), \mathcal{A}(p))^\vee$ は非自明な擬似零部分加群を持たない。