[論文レビュー] On the K-theory of twisted higher-rank-graph C*-algebras

Alex Kumjian, David Pask+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 7, 2012

Advanced Operator Algebra Research参考文献 10被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、2次コサイクルが実数値である場合、それに対応するねじれ高ランクグラフ C*-代数の K-理論が、ねじれのない代数の K-理論と同型であることを、コサイクルの双対群上の連続 C*-バンドル構成を用いて確立する。主な結果は、実数値コサイクルの指数関数によって得られる円周値コサイクルに対して、K-理論が変化しないことであり、非可換トーラスに対するエリオットの計算を高ランクグラフへ一般化するものである。

ABSTRACT

We investigate the K-theory of twisted higher-rank-graph algebras by adapting parts of Elliott's computation of the K-theory of the rotation algebras. We show that each 2-cocycle on a higher-rank graph taking values in an abelian group determines a continuous bundle of twisted higher-rank graph algebras over the dual group. We use this to show that for a circle-valued 2-cocycle on a higher-rank graph obtained by exponentiating a real-valued cocycle, the K-theory of the twisted higher-rank graph algebra coincides with that of the untwisted one.

研究の動機と目的

• 連続 C*-バンドル構成を用いて、ねじれ高ランクグラフ C*-代数の K-理論を計算すること。
• 非可換トーラスに対するエリオットの K-理論計算を、ねじれ関係をもつ高ランクグラフ C*-代数へ一般化すること。
• 実数値コサイクルの指数関数によって得られる円周値 2-コサイクルから生じるねじれ k-グラフ C*-代数の K-理論が、ねじれなし代数のそれと一致することを示すこと。
• ねじれの有無に関わらず K-理論が同型となるようなねじれ k-グラフ C*-代数が Kirchberg 代数であるための条件を確立すること。

提案手法

• アーベル群 $ A $ の双対群 $ \widehat{A} $ 上に C*-代数バンドル $ C^*(\Lambda, A, c) $ を構成し、各ファイバーは $ \chi \in \widehat{A} $ に対しねじれ k-グラフ C*-代数 $ C^*(\Lambda, \chi \circ c) $ となるようにする。
• リエッフェルの議論の適応によりバンドルが連続であることを証明し、K-理論解析に適したセクション代数が良好に定義されることを保証する。
• 度数写像 $ \Lambda \times_d \mathbb{Z}^k $ がコバウンダリーであるとき、$ C^*(\Lambda, \mathbb{R}, c_0) \cong C_0(\mathbb{R}) \otimes C^*(\Lambda) $ が成り立つことを使い、コンパクト区間への制限が可能であることを示す。
• 制限された代数 $ C^*(\Lambda, \mathbb{R}, c_0)|_{[0,1]} $ を、ファイバーを保存する $ \mathbb{Z}^k $-作用による $ C([0,1]) \otimes C^*(\Lambda \times_d \mathbb{Z}^k) $ のクローズド・コーナーとして埋め込む。
• k についての帰納法を用い、クローズド・プロダクトからそのファイバーへの商写像が K-理論で同型を誘導することを示す。
• Künneth 公式の自然性と、$ C^*(\Lambda) $ から $ C^*(\Lambda, e^{itc_0}) $ への包含写像が K-理論で同型を誘導することを用い、結論として $ K_*(C^*(\Lambda, e^{itc_0})) \cong K_*(C^*(\Lambda)) $ を得る。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 実数値 2-コサイクルから指数関数的に得られるねじれが導かれる場合、ねじれ高ランクグラフ C*-代数の K-理論はねじれの有無に依存するか？
• RQ2 連続バンドルの代数を用いて、非可換トーラスの K-理論計算を高ランクグラフ C*-代数へ一般化できるか？
• RQ3 ねじれ k-グラフ C*-代数の K-理論がねじれなし代数のそれと同型となる条件は何か？
• RQ4 ねじれ k-グラフ C*-代数が Kirchberg 代数であるのはいつか？ また、異なるねじれに対しても同型となるのはいつか？

主な発見

• 任意の実数値 2-コサイクル $ c_0 $ と k-グラフ $ \Lambda $ に対して、ねじれ代数 $ C^*(\Lambda, e^{itc_0}) $ の K-理論はねじれなし代数 $ C^*(\Lambda) $ の K-理論と同型であり、すべての $ t \in \mathbb{R} $ に対して $ K_*(C^*(\Lambda, e^{itc_0})) \cong K_*(C^*(\Lambda)) $ が成り立つ。
• 双対群 $ \widehat{A} $ 上の連続 $ C_0(\widehat{A}) $-代数バンドルの構成により、各文字 $ \chi \in \widehat{A} $ におけるファイバーが $ C^*(\Lambda, \chi \circ c) $ となることが保証され、ねじれ間の K-理論比較が可能になる。
• $ A = \mathbb{R} $ のとき、制限 $ C^*(\Lambda, \mathbb{R}, c_0)|_{[0,1]} $ は $ C([0,1]) \otimes C^*(\Lambda) $ に同型であるため、すべてのファイバーが同型な K-理論写像を誘導する。
• すべての頂点が一般化されたサイクル（入り口を持つもの）から到達可能で、一様でない、行有限で源のない k-グラフ $ \Lambda $ に対して、すべての $ t \in \mathbb{R} $ に対して $ C^*(\Lambda, \omega_t \circ c) $ は K-理論が同型な Kirchberg 代数である。
• ねじれ Heegaard 型量子球面 $ C(S^3_{00\theta}) $ の K-理論は $ K_0 $ および $ K_1 $ ともに $ \mathbb{Z} \oplus \mathbb{Z} $ であり、既知の結果と一致する。
• 上記の条件下で、すべての $ t \in \mathbb{R} $ に対して $ C^*(\Lambda, \omega_t \circ c) \cong C^*(\Lambda) $ が成り立つ。これは K-理論の一致と Kirchberg-Phillips 分類定理による。