[論文レビュー] On the Kodaira dimension of the moduli space of hyperelliptic curves with marked points

Irene Schwarz|arXiv (Cornell University)|Feb 9, 2020

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 17被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、種数 $g$ の安定なハイパーオーバル曲線に $n$ 個のマークド点を持つモジュライ空間 $\overline{\mathcal{H}}_{g,n}$ の正規化因子類を計算し、$n = 4g+6$ のとき有効的であり、$n \geq 4g+7$ のとき大きいことを示している。この結果は、$n = 4g+6$ で $\overline{\mathcal{H}}_{g,n}$ が非負のコルダ・次元を持ち、$n \geq 4g+7$ で一般型であるという予想を支持するものであり、後にバロスとマランの共同論文で証明された。

ABSTRACT

It is known that the moduli space $\overline{\mathcal{H}}_{g,n}$ of genus $g$ stable hyperelliptic curves with $n$ marked points is uniruled for $n \leq 4g+5$. In this paper we consider the complementary case. We calculate the canonical divisor of $\overline{\mathcal{H}}_{g,n}$ and show that it is effective for $n=4g+6$ and big for $n\leq 4g+7$. This leads us to conjecture that $\overline{\mathcal{H}}_{g,n}$ has non-negative Kodaira dimension for $n = 4g+6$ and is of general type for $n \geq 4g+7$.

研究の動機と目的

• 安定なハイパーオーバル曲線に $n$ 個のマークド点を持つモジュライ空間 $\overline{\mathcal{H}}_{g,n}$ の双有理幾何を特定すること。
• 正規化因子類 $K_{\overline{\mathcal{H}}_{g,n}}$ を有理チャウ群 $\mathrm{CH}^1(\overline{\mathcal{H}}_{g,n}) \otimes \mathbb{Q}$ 内で計算すること。
• 正規化因子が有効的または大きいとされる条件を特定し、特に $n \leq 4g+5$ のときの既知のユニルーデッド性結果とは逆の状況を分析すること。
• 予想である $\overline{\mathcal{H}}_{g,n}$ が $n = 4g+6$ で非負のコルダ・次元を持ち、$n \geq 4g+7$ で一般型であるという仮説に証拠を提供すること。

提案手法

• タウトロジカルクラス $\psi_i$, $\eta_{i,S}$, $\delta_{i,S}$, $\delta_{0,S}$ を用いて、スタック $\overline{H}_{g,n}$ の正規化因子類を導出する。
• スタックの正規化クラスを、$-\sum_{i=1}^g \delta_{i,\emptyset}$ を加えることで、粗いモジュライ空間 $\overline{\mathcal{H}}_{g,n}$ に翻訳する。
• $\overline{\mathcal{M}}_{g,g}$ から $\overline{\mathcal{M}}_{g,n}$ への $W_g$ の引き戻しの重み付き和として構成された除集合 $W$ を用いる。係数は二項係数の和から得られる。
• 正規化因子 $K_{\overline{\mathcal{H}}_{g,n}}$ を線形結合 $\epsilon \psi + (1-\epsilon)W + E$ の形に表現する。ここで $E$ は境界成分を集めたものである。
• 分解における各係数の符号を分析し、$K_{\overline{\mathcal{H}}_{g,n}}$ の有効性および大きさを特定する。
• $\psi = \sum \psi_i$ の正の性質と、係数の精密な見積もりを用いて、$n \geq 4g+7$ で正であり、$n = 4g+6$ で有効的であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 正規化因子 $K_{\overline{\mathcal{H}}_{g,n}}$ は $n > 4g+5$ のとき有効的または大きいですか？
• RQ2 $\mathrm{CH}^1(\overline{\mathcal{H}}_{g,n}) \otimes \mathbb{Q}$ 内で正規化因子の正確な類は何か？
• RQ3 正規化因子は $\psi$-クラスと有効な境界除集合の正の組み合わせに分解可能ですか？
• RQ4 正規化因子の大きさまたは有効性は、非負のコルダ・次元または一般型の挙動を示唆しますか？
• RQ5 スタック $\overline{H}_{g,n}$ が滑らかでないことに起因する正規化因子の計算への影響は何か？

主な発見

• 正規化因子 $K_{\overline{\mathcal{H}}_{g,n}}$ は $n = 4g+6$ のとき有効的である。
• 正規化因子 $K_{\overline{\mathcal{H}}_{g,n}}$ は $n \geq 4g+7$ のとき大きい。
• 係数 $\epsilon = 0$ のとき $n = 4g+6$ にあって $\eta_0$ の係数が消えるため、有効性の閾値を示している。
• $n \geq 4g+7$ かつ $g \geq 2$ のとき、$\delta_{0,\{1,\ldots,n\}}$ の係数は正であり、大きさに寄与している。
• すべての $i \geq 1$ について、$\eta_{i,S}$ および $\delta_{i,S}$ の係数は正規化因子分解において正である。
• $K = \epsilon \psi + (1-\epsilon)W + E$ の分解により、境界成分の符号の明示的解析を通じて $K$ が有効的かつ大きいことが確認された。