[論文レビュー] On the lifting of Hilbert cusp forms to Hilbert-Siegel cusp forms

Tamotsu Ikeda, Shunsuke Yamana|arXiv (Cornell University)|Dec 30, 2015

Advanced Algebra and Geometry参考文献 15被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、完全実数体上のヒルベルト尖型形式へ、Duke-Imamoglu-Ikedaの上昇を一般化する。重み $2\kappa$ のヒルベルト尖型形式から、重み $\kappa + \frac{m}{2}$ で次数 $m$ のヒルベルト-シーゲル尖型形式への上昇を構成する。構成には退化ホイットカー関数、フーリエ-ヤコビモジュール、およびシンプレクティック群の内部形式への転送が用いられ、リーマンゼータ関数の部分 $L$-関数と、分岐素数で除去されたオイラー因子を含む明示的な $L$-関数を持つヘッケ固有形式が得られる。

ABSTRACT

Starting from a Hilbert cusp form of weight $2\kap$, we will construct a Hilbert-Siegel cusp form of weight $\kap+\frac{m}{2}$ and degree $m$ and its transfer to inner forms of symplectic groups.

研究の動機と目的

• 楕円尖型形式からヒルベルト尖型形式へのDuke-Imamoglu-Ikeda上昇を、完全実数体上のヒルベルト尖型形式へ一般化すること。
• 重み $2\kappa$ のヒルベルト尖型形式から、重み $\kappa + \frac{m}{2}$ で次数 $m$ のヒルベルト-シーゲル尖型形式への上昇を構成すること。
• 自動形式表現を介して、上昇された形式がシンプレクティック群の内部形式へ転送されることを確立すること。
• 上昇されたヒルベルト-シーゲル尖型形式のフーリエ係数について、局所 $L$-因子とガウス和を用いた明示的公式を提示すること。
• 上昇された形式の標準的（部分的）$L$-関数が、分岐素数で除去されたオイラー因子を含む $L$-関数の積と一致することを検証すること。

提案手法

• 構成には、完全実体 $F$ の adele 環上のシンプレクティック群 $\mathrm{Mp}(W_m)$ のメタプレクティック被覆に関連する退化ホイットカー関数が用いられる。
• フーリエ-ヤコビモジュールを用いて、$\mathrm{GL}_2$ の自動形式表現と $\mathrm{Sp}_m$ のそれとを関連づけ、上昇プロセスを可能にする。
• 上昇は、シュワーツ＝ブローディ関数とウェイエル表現を用いたシータ上昇として実現され、重みのシフトは自動形式性の因子 $J_{\ell}(\tilde{g}, Z)^{-1}$ に起因する。
• 上昇形式の関数 $F(Z)$ は、フーリエ係数に $c(t)$, $\mathfrak{f}_t^{\kappa-1/2}$, 局所 $L$-因子 $\Psi_v(t, q_v^{s_v})$ を含む形で、ヒルベルト-シーゲル上半空間 $\mathfrak{H}_m^d$ 上に定義される。
• 内部形式への転送は、ジャケット＝ラングランズ対応を介して、$\mathrm{Sp}_m$ の内部形式上での自動形式表現を分析することによって達成される。
• 主な技術的道具は、局所根数 $\gamma(\psi_v^t)$ と局所 $L$-因子の関数等式であり、これらは正しい変換性を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 楕円尖型形式からシーゲル尖型形式への古典的イケダ上昇を、完全実数体上のヒルベルト尖型形式へ一般化する方法は何か？
• RQ2 重み $2\kappa$ のヒルベルト尖型形式から得られるヒルベルト-シーゲル尖型形式の正確な重みと次数は何か？
• RQ3 上昇されたヒルベルト-シーゲル尖型形式のフーリエ展開は、元のヒルベルト尖型形式のフーリエ係数とどのように関係するか？
• RQ4 上昇されたヒルベルト-シーゲル尖型形式の標準的（部分的）$L$-関数は何か？ また、自動形式 $L$-関数の観点から、どのように分解されるか？
• RQ5 上昇がシンプレクティック群の内部形式へ転送されるとき、その挙動はいかなるものか？ また、導手と分岐素数はこのプロセスにおいて果たす役割は何か？

主な発見

• 上昇により、重み $2\kappa$ のヒルベルト尖型形式から、次数 $m$ で重み $\kappa + \frac{m}{2}$ のヒルベルト-シーゲル尖型形式が構成され、古典的イケダ上昇がヒルベルトモジュラー形式へ一般化される。
• 上昇された形式のフーリエ係数は、$c(\nu(2B)) \cdot \mathfrak{f}_B^{\kappa-1/2} \cdot \prod_{v \notin \mathfrak{S}_\infty} \widetilde{F}_v(B, q_v^{s_v})$ として明示的に与えられる。ここで $\widetilde{F}_v$ は局所 $L$-因子とガウス和を符号化する。
• 上昇された形式の標準的（部分的）$L$-関数は $\zeta_F^{\mathfrak{e}^D}(s) \prod_{i=1}^{2n} L^{\mathfrak{e}^D}(s + n - i + \frac{1}{2}, \pi)$ であり、$\mathfrak{e}^D$ に属する素数、すなわち除法代数 $D$ の分岐素数の積においてオイラー因子が除去されている。
• $n=1$ かつ $F=\mathbb{Q}$ の場合、上昇は古典的イケダ上昇を回復し、$L$-関数は [14, 18] で知られている結果と一致する。
• 構成はジャケット＝ラングランズ転送と整合しており、$\mathrm{Sp}_m$ の内部形式上での上昇形式が、フーリエ-ヤコビモジュールと局所関数等式の理論を用いて、尖型かつヘッケ固有形式であることが示される。
• 上昇はヘッケ固有形式構造を保存し、上昇された形式の固有値系は、元のヒルベルト尖型形式の局所 $L$-因子と、誘導表現における $s_v$ の選択により決定される。