[論文レビュー] On the limit Sobolev regularity for Dirichlet and Neumann problems on Lipschitz domains

Martin Costabel|arXiv (Cornell University)|Nov 20, 2017

Advanced Mathematical Modeling in Engineering参考文献 15被引用数 21

ひとこと要約

本稿では、ℝⁿ 内の有界 C¹ 域 Ω を構成し、その上でラプラシアンのディリクレ問題およびノイマン問題の解が、滑らかなデータに対しても H³/²+ε 正則性に達しないことを示している。lacunary フーリエ級数を用いて Hölder 正則性およびソボレフ正則性を制御可能な境界関数を定義し、解が H³/² に属するが、いかなるより高いソボレフ空間にも属しないことを証明することで、リプシッツ領域における既知の正則性評価の鋭さを示している。

ABSTRACT

We construct a bounded $C^{1}$ domain $\Omega$ in $R^{n}$ for which the $H^{3/2}$ regularity for the Dirichlet and Neumann problems for the Laplacian cannot be improved, that is, there exists $f$ in $C^{\infty}(\overline\Omega)$ such that the solution of $\Delta u=f$ in $\Omega$ and either $u=0$ on $\partial\Omega$ or $\partial\_{n} u=0$ on $\partial\Omega$ is contained in $H^{3/2}(\Omega)$ but not in $H^{3/2+\varepsilon}(\Omega)$ for any $\epsilon>0$. An analogous result holds for $L^{p}$ Sobolev spaces with $p\in(1,\infty)$.

研究の動機と目的

• 任意の有界リプシッツ領域が、ε > 0 が存在して、その上でのディリクレ問題およびノイマン問題の解が H¹/²+ε に属することを保証するかという未解決問題を解消すること。
• 解の正則性が H³/² を超えて向上しない反例領域を構成し、滑らかなデータに対しても同様に成り立つこと。
• すべての p ∈ [1, ∞) に対して Lp ソボレフ空間に拡張し、ソボレフ空間全体のスケールにわたって正則性の閾値が鋭いかを示すこと。
• C¹ 領域における既知の正則性シフト結果が最適であり、右辺がより滑らかであっても改善が不可能であることを示すこと。
• ディリクレ問題およびノイマン問題の両方において、H³/² が C¹ 領域で正しく鋭い正則性の限界であることを、ソボレフ空間における分離関数に基づく新規な構成により確立すること。

提案手法

• 極座標を用いて ℝ² 内の C¹ 領域 Ω ⊂ ℝ² を構成し、半径 r < F(θ) とし、F(θ) = 1 + ∫₀^θ f(t)dt と定義する。ここで f は lacunary フーリエ級数である。
• f(θ) = ∑ₖ≥₁ aₖ sin(bₖθ) と定義し、周波数 bₖ が急激に増加し、振幅 aₖ が特定の減衰・増大条件を満たすように選ぶことで、ソボレフ空間内での分離性を保証する。
• a, b ∈ W^ε,p(T) かつ a f = b ならば a = b = 0 であることを、lacunary 構造とフーリエ係数の減衰条件を用いて証明する。
• この分離性を用いて、∂ω 上で法線成分または接線成分のトレースが消える W^1+1/p+ε,p(ω) ベクトル場が恒等的に 0 に一致することを示す。
• ω 上でのラプラス方程式の解を u = ∇v と定義し、v がより高い正則性を持つと仮定して矛盾を導くことで、トレースの消える性質を応用する。
• 2次元の反例を円柱構成により高次元に拡張し、C¹-正則な円柱部を含む領域に修正し、切断関数を用いて解を局所化することで正則性を保つ。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意の有界リプシッツ領域に対して、その上でのディリクレ問題およびノイマン問題の解が常に H¹/²+ε に属するような ε > 0 が存在するか？
• RQ2 滑らかなデータに対しても、C¹ 領域上での解の H³/² 正則性閾値を向上させることは可能か？
• RQ3 C¹ 領域上での L² および Lp ソボレフ空間（すべての p ∈ [1, ∞)）において、正則性の限界 H³/² が鋭いか？
• RQ4 1つの領域と1つの右辺関数が、すべての p ∈ [1, ∞) およびすべての ε > 0 に対して反例として機能可能か？
• RQ5 右辺が滑らかまたは解析的であっても、より高い正則性の失敗は継続するか？

主な発見

• ℝ³ 内に有界な C¹ 領域 Ω が存在し、f ∈ C∞(Ω) に対して、Δu = f かつ ∂Ω 上で u = 0 または ∂ₙu = 0 を満たす解 u は H³/²(Ω) に属するが、任意の ε > 0 に対して H³/²+ε(Ω) には属さない。
• この反例はすべての p ∈ [1, ∞) に対して成り立ち、Lp ソボレフ空間においても正則性の限界 H¹+1/p, p が鋭いかを示している。
• ディリクレ問題に対しては、ω 上で g = 1 とすると、解 vD ∈ H¹₀(ω) は任意の ε > 0 および p ≥ 1 に対して W¹+1/p+ε,p(ω) には属さない。
• ノイマン問題に対しては、C∞(ω) の右辺 g（二次多項式）が存在し、その解 vN は任意の ε > 0 および p ≥ 1 に対して W¹+1/p+ε,p(ω) には属さない。
• 3次元以上の場合、C¹ 境界を持つ円柱領域を構成することで、高次元への一般化が可能であり、解の非正則性が保たれる。
• 切断および局所化を用いて構成された高次元領域上での解 v は、C⁰,α(Ω) および H¹(Ω) に属するが、任意の ε > 0 および p ≥ 1 に対して W¹+1/p+ε,p(Ω) には属さない。