[論文レビュー] On the local genus distribution of graph embeddings

Ricky X. F. Chen, Christian M. Reidys|arXiv (Cornell University)|Jan 11, 2016

Advanced Graph Theory Research参考文献 13被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、可定向な曲面上の2セル埋め込みにおける、グラフの個々の頂点の局所的再埋め込みが、その曲面の genus に与える影響を分析するフレームワークを導入する。頂点の再埋め込みを平面順列と巡回構造を用いてモデル化することで、genus を Δg だけ増加させるような頂点の再埋め込みの方法の数に対する正確な公式を導出し、局所的再配置によって達成可能な最小 genus が頂点の次数および巡回型に依存することを確立する。主な結果として、最小 genus 埋め込みであるための必要条件が得られる：各頂点 ν に対して、ℓ(λ(Dν)) + qν = deg(ν) + 1 が成り立つ。ここで qν は ν に接する面の数であり、ℓ(λ(Dν)) は局所的順列の巡回数である。

ABSTRACT

The $2$-cell embeddings of graphs on closed surfaces have been widely studied. It is well known that ($2$-cell) embedding a given graph $G$ on a closed orientable surface is equivalent to cyclically ordering the edges incident to each vertex of $G$. In this paper, we study the following problem: given a genus $g$ embedding $ε$ of the graph $G$ and a vertex of $G$, how many different ways of reembedding the vertex such that the resulting embedding $ε'$ is of genus $g+Δg$? We give formulas to compute this quantity and the local minimal genus achieved by reembedding. In the process we obtain miscellaneous results. In particular, if there exists a one-face embedding of $G$, then the probability of a random embedding of $G$ to be one-face is at least $\prod_{ν\in V(G)}\frac{2}{deg(ν)+2}$, where $deg(ν)$ denotes the vertex degree of $ν$. Furthermore we obtain an easy-to-check necessary condition for a given embedding of $G$ to be an embedding of minimum genus.

研究の動機と目的

• 単一の頂点における辺の巡回的順序の再構成が、可定向曲面上のグラフの2セル埋め込みの genus に与える影響を理解すること。
• 結果の埋め込みが genus g + Δg となるように頂点を再埋め込む方法の数に対する正確な公式を導出すること。
• 頂点再埋め込みによる局所的最小 genus の特徴づけ、および最小 genus 埋め込みであるための必要条件の特定。
• 各頂点の局所的データに基づいて、与えられた埋め込みが最小 genus であるかどうかを計算的に検証可能な基準を提供すること。

提案手法

• 埋め込みを脂肪グラフ（fatgraph）として置き換え、α（辺のペアリング）、β（頂点の巡回的順序）、γ = αβ（面の境界）の置換を用いる。
• 頂点 ν の局所的構造を、q が ν に接する面の数であるときの平面順列 (sν, πν)q で表現する。
• 置換の巡回型分解を用いて、頂点における巡回的順序の変更が genus に与える影響を解析し、genus 公式 C(β) - C(α) + C(γ) = 2 - 2g を用いる。
• 特に、与えられた巡回型を持つ2つの置換の積として置換を分解する方法の数に関する置換群論の結果を応用し、有効な再埋め込みの数を計算する。
• 公式 −⌊(deg(ν)+1−ℓ(λ(Dν))−q)/2⌋ ≤ Δg ≤ ⌊(q−1)/2⌋ を用いて、単一頂点の再埋め込みによって達成可能な genus シフト Δg の範囲を導出する。
• 最大 genus は、すべての頂点が高々2つの面に接する場合にのみ達成可能であり、最小 genus はすべての頂点 ν に対して ℓ(λ(Dν)) + qν = deg(ν) + 1 が成り立つことで特徴づけられる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 与えられた Δg に対して、genus g の埋め込みにおける単一の頂点を再埋め込む方法は、いくつ存在するか？ その結果、埋め込みの genus が g + Δg となる。
• RQ2 頂点における辺の接続順序を局所的に再配置することで、達成可能な genus 変化の範囲は何か？
• RQ3 単一の頂点における辺の巡回的順序を再構成することで到達可能な最小 genus は何か？
• RQ4 最小 genus 埋め込みであるための必要条件は何か？ また、各頂点で局所的にどのように検証できるか？
• RQ5 どのような条件下で頂点の再埋め込みが genus を維持または増加させることができ、その確率は何か？

主な発見

• 頂点 ν を Δg だけ genus を増加させるように再埋め込む方法の数は、局所的順列の有効な巡回型分解の数を含む公式で与えられ、最大の genus シフトは ⌊(q−1)/2⌋ で抑えられる。
• 頂点 ν を再埋め込むことで達成可能な最小 genus は、q が ν に接する面の数であるとして、g − ⌊(deg(ν)+1−ℓ(λ(Dν))−q)/2⌋ で下から抑えられる。
• 頂点 ν が最小 genus 埋め込みに寄与するための必要十分条件は、ℓ(λ(Dν)) + qν = deg(ν) + 1 が成り立つことである。ここで ℓ(λ(Dν)) は局所的順列 πν の巡回数である。
• 埋め込みにおいてある頂点が3つ以上の面に接している場合、常により高 genus の埋め込みが存在することが確認され、最大 genus 埋め込みではすべての頂点が高々2つの面に接している必要があることが示された。
• G のランダムな埋め込みが1面である確率は、∏ν∈V(G) 2/(deg(ν)+2) 以上である。これは1面埋め込みの存在に対する下界を提供する。
• 頂点 ν の局所的 genus シフト範囲は、公式 −⌊(deg(ν)+1−ℓ(λ(Dν))−q)/2⌋ ≤ Δg ≤ ⌊(q−1)/2⌋ で完全に特徴づけられ、これはタイトで達成可能である。