[論文レビュー] On the local $M$-derivative

J. Vanterler da C. Sousa, E. Capelas de Oliveira|arXiv (Cornell University)|Apr 1, 2017

Fractional Differential Equations Solutions参考文献 3被引用数 11

ひとこと要約

本稿では、1パラメータのミタグレフラー関数を組み込んだことで、カトゥガンポラの代替分数階微分を一般化する新しい分数階微分 $\mathscr{D}{M}{\alpha,\beta}$ を導入する。この微分は、線形性、合成関数の微分法則、定数の微分がゼロであるといった整数階微分の計算の基本的性質を保ち、ロルの定理や平均値の定理といった古典的定理を拡張する。$\alpha = 1$ であり、ミタグレフラー関数のパラメータが1である場合、通常の1階微分に簡約される。

ABSTRACT

We introduce a new fractional derivative that generalizes the so-called alternative fractional derivative recently proposed by Katugampola. We denote this new differential operator by $\mathscr{D}_{M}^{\alpha,\beta }$, where the parameter $\alpha$, associated with the order, is such that $0 0$ and $M$ is used to denote that the function to be derived involves a Mittag-Leffler function with one parameter. This new derivative satisfies some properties of integer-order calculus, e.g. linearity, product rule, quotient rule, function composition and the chain rule. Besides as in the case of the Caputo derivative, the derivative of a constant is zero. Because Mittag-Leffler function is a natural generalization of the exponential function, we can extend some of the classical results of integer-order calculus, namely: Rolle's theorem, the mean value theorem and its extension. Further, when the order of the derivative is $\alpha=1$ and the parameter of the Mittag-Leffler function is also unitary, our definition is equivalent to the definition of the ordinary derivative of order one. Finally, we present the corresponding fractional integral from which, as a natural consequence, new results emerge which can be interpreted as applications. Specifically, we generalize the inversion property of the fundamental theorem of calculus and prove a theorem associated with the classical integration by parts.

研究の動機と目的

• 1パラメータのミタグレフラー関数を用いて、カトゥガンポラの代替分数階微分を一般化する新しい分数階微分を構築すること。
• 整数階微分法の基本的性質（線形性、積の法則、合成関数の微分法則など）を分数階微分の枠組み内で保つこと。
• ロルの定理や平均値の定理といった古典的定理を、新しい分数階微分の枠組みに拡張すること。
• $\alpha = 1$ であり、ミタグレフラー関数のパラメータが1である場合に、通常の微分に一致することを保証すること。
• 対応する分数階積分を確立し、逆演算性や部分積分の定理といった新しい結果を導出すること。

提案手法

• 新しい微分 $\mathscr{D}{M}{\alpha,\beta}$ は、1パラメータのミタグレフラー関数を用いて定義され、$M$ は関数の関与を示す。
• パラメータ $\alpha$（$0 < \alpha \leq 1$）は微分の順序を制御し、$\beta > 0$ はスケーリングパラメータである。
• 微分は、線形性、積の法則、商の法則、関数合成、および合成関数の微分法則といった、微分計算の核となる規則を満たすように構築されている。
• 定数の微分がゼロであることを保証することで、キャプト微分と同様の振る舞いを実現している。
• 分数階積分は逆演算として導出され、微分積分学の基本定理の一般化や部分積分の定理の導出を可能にしている。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 1パラメータのミタグレフラー関数を組み込んだことで、カトゥガンポラの代替微分を一般化する分数階微分をどのように定義できるか。
• RQ2 新しい微分が、合成関数の微分法則や定数の微分がゼロといった整数階微分法の本質的性質を保っているか。
• RQ3 ロルの定理や平均値の定理といった古典的定理が、この新しい分数階微分の枠組みに拡張可能か。
• RQ4 $\alpha = 1$ であり、ミタグレフラー関数のパラメータが1である場合、微分は通常の微分に回復するか。
• RQ5 対応する分数階積分から、特に微分積分学の基本定理の逆演算および部分積分の定理に関連して、どのような新しい結果が得られるか。

主な発見

• 新しい微分 $\mathscr{D}{M}{\alpha,\beta}$ は、線形性、積の法則、商の法則、関数合成、および合成関数の微分法則を満たし、古典的微分法と整合性を持つ。
• 定数の微分がゼロであることは、キャプト微分と一致し、微分の基本的性質を保っている。
• $\alpha = 1$ であり、ミタグレフラー関数のパラメータが1である場合、微分は正確に通常の1階微分に簡約される。
• ロルの定理や平均値の定理といった古典的定理が、この微分を用いて分数階の設定に一般化されている。
• 対応する分数階積分により、微分積分学の基本定理の一般化された逆演算が可能となり、部分積分に類似した新しい定理が導出された。