[論文レビュー] On the $\mathrm{L}^p$-theory for second-order elliptic operators in divergence form with complex coefficients

Tom Ter Elst, Robert Haller‐Dintelmann+2 more|arXiv (Cornell University)|Mar 15, 2019

Advanced Harmonic Analysis Research被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、複素係数をもつ第二順位の発散型楕円型作用素の $\mathrm{L}^p$-理論を、$p$-楕円型条件を導入することによって確立する。この条件により、作用素が $\mathrm{L}^p(\Omega)$ 上で有界な解析的半群を生成するような $p$ の範囲が特徴づけられる。主な結果は、混合Dirichlet-Neumann境界条件の下で解析的半群の生成に適した鋭い範囲 $p \in \left(\frac{p_0(\mu)d}{d(p_0(\mu)-1)+2}, \frac{p_0(\mu)d}{d-2}\right)$ が得られ、最大正則性および $\mathrm{H}^\infty$-計算が $\mathrm{L}^p$ および双対空間へと拡張される。

ABSTRACT

Given a complex, elliptic coefficient function we investigate for which values of $p$ the corresponding second-order divergence form operator, complemented with Dirichlet, Neumann or mixed boundary conditions, generates a strongly continuous semigroup on $\mathrm{L}^p(Ω)$. Additional properties like analyticity of the semigroup, $\mathrm{H}^\infty$-calculus and maximal regularity are also discussed. Finally we prove a perturbation result for real coefficients that gives the whole range of $p$'s for small imaginary parts of the coefficients. Our results are based on the recent notion of $p$-ellipticity, reverse Hölder inequalities and Gaussian estimates for the real coefficients.

研究の動機と目的

• 第二順位の発散型楕円型作用素が複素係数をもつ場合に、$\mathrm{L}^p(\Omega)$ 上で強く連続な半群を生成する $p \in (1,\infty)$ の範囲を特定すること。
• そのような作用素が解析性、$\mathrm{H}^\infty$-計算、および $\mathrm{L}^p$ における最大放物型正則性といった追加的性質を有するための条件を特徴づけること。
• 実係数の理論を超えて、$\mathrm{L}^p$-設定における実楕円型の代わりに $p$-楕円型条件を導入し、それを用いることによって理論を拡張すること。
• 虚部が小さい実係数に対する摂動結果を証明し、小さな複素摂動のもとでも $p$-値の全範囲が有効であることを示すこと。

提案手法

• 著者らは、係数行列 $\mu$ に対する $p$-楕円型という概念を導入し、これが作用素が $\mathrm{L}^p$ で正実的かつ領域的であることを保証する条件であることを示す。
• 実係数に対する逆Hölder不等式およびガウス型推定を基礎として、複素係数への結果の拡張を行う。
• 主な技術的道具は、$\mathrm{W}^{-1,q}_D(\Omega)$ と $\mathrm{L}^q(\Omega)$ の間の位相的同型写像 $E_q^\mu$ の構成であり、これにより半群および関数計算を $\mathrm{L}^q$ から双対空間へ移すことができる。
• $\mathrm{W}^{-1,q}_D(\Omega)$ 上の生成作用素 $B_q^\mu$ は、形式作用素 $\mathcal{A}$ の部分作用素として定義され、$\mathrm{L}^p$-理論と整合性を持つように保証される。
• 有界なホロモーレック関数計算および最大正則性は、同型写像 $E_q^\mu$ を通じて $\mathrm{L}^q(\Omega)$ から $\mathrm{W}^{-1,q}_D(\Omega)$ へと移される。
• この理論は、幾何的条件（例えば、$d$-集合および $(d-1)$-集合をもつ境界）を満たす領域における混合境界条件へ応用可能であり、トレースおよび拡張性質が保証される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 複素係数をもつ発散型作用素 $-A = -\nabla \cdot \mu \nabla$ が $\mathrm{L}^p(\Omega)$ 上で強く連続な半群を生成する $p$ の値は何か？
• RQ2 $-A$ が生成する半群が解析的になる条件は何か？ そして、解析性が成立する $p$ の鋭い範囲は何か？
• RQ3 $\mathrm{H}^\infty$-計算および最大放物型正則性は、$\mathrm{L}^2$ から $\mathrm{L}^p$ へ複素係数の場合に拡張可能か？
• RQ4 $p$-楕円型条件は、作用素が領域的であり、有界な解析的半群を生成する $p$ の範囲とどのように関係するか？
• RQ5 小さな虚部をもつ実係数に対する摂動が、$\mathrm{L}^p$-理論に与える影響は何か？

主な発見

• 作用素 $-A$ は、すべての $p \in \left(\frac{p_0(\mu)d}{d(p_0(\mu)-1)+2}, \frac{p_0(\mu)d}{d-2}\right)$ に対して $\mathrm{L}^p(\Omega)$ 上で有界な解析的半群を生成する。ここで $p_0(\mu)$ は $p$-楕円型から得られる臨界指数である。
• $\mathrm{H}^\infty$-計算は、$q \in \left[2, \frac{p_0(\mu)d}{d-2}\right)$ の範囲で $\mathrm{L}^q(\Omega)$ 上で有界であり、$\mathrm{L}^2$-作用素と同じ領域角をとる。
• $\mathrm{W}^{-1,q}_D(\Omega)$ 上の生成作用素 $B_q^\mu$ は最大放物型正則性を有し、これは同型写像 $E_q^\mu$ を通じて $\mathrm{L}^q$-理論から引き継がれる。
• $A_{p}^{(\mu^*)}+1$ の平方根の随伴は、$\mathrm{W}^{-1,q}_D(\Omega)$ から $\mathrm{L}^q(\Omega)$ への位相的同型写像であり、$\mathrm{L}^2$-ケースと整合的である。
• 虚部が小さい実係数に対しては、$\mathrm{L}^p$-理論が成立する $p$-値の全範囲が小さな摂動のもとでも保たれる。
• 結果は、$\Omega$ が $d$-集合であり、$D \subset \partial\Omega$ が $(d-1)$-集合である限り、非滑らかな領域および混合境界条件へ一般化可能である。