[論文レビュー] On the mild Itô formula in Banach spaces

Sonja Cox, Arnulf Jentzen+2 more|arXiv (Cornell University)|Dec 9, 2016

Stochastic processes and financial applications参考文献 5被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、型2を備えたUMD（無条件マルティングール差分）バナッハ空間へ、弱いイトの公式を一般化し、ヒルバート空間を超えてその適用範囲を拡大する。主な貢献は、バナッハ空間における弱いイト過程を厳密に分析するためのフレームワークを提供することであり、これにより確率的偏微分方程式（SPDEs）の数値近似における本質的に鋭い弱収束率を可能にする。

ABSTRACT

The mild Ito formula proposed in Theorem 1 in [Da Prato, G., Jentzen, A., \& Röckner, M., A mild Ito formula for SPDEs, arXiv:1009.3526 (2012), To appear in the Trans.\ Amer.\ Math.\ Soc.] has turned out to be a useful instrument to study solutions and numerical approximations of stochastic partial differential equations (SPDEs) which are formulated as stochastic evolution equations (SEEs) on Hilbert spaces. In this article we generalize this mild Itô formula so that it is applicable to solutions and numerical approximations of SPDEs which are formulated as SEEs on UMD (unconditional martingale differences) Banach spaces. This generalization is especially useful for proving essentially sharp weak convergence rates for numerical approximations of SPDEs.

研究の動機と目的

• SPDEsへの適用範囲を広げるために、ヒルバート空間から型2を備えたUMDバナッハ空間への弱いイトの公式の拡張を行う。
• 無限次元における標準的イトの公式の限界を解消し、SPDEの弱解や弱い解に対して不成立となる問題を解決する。
• SPDEの数値近似における本質的に鋭い弱収束率を証明するための理論的基盤を提供する。
• 弱いイト過程における多項式成長を示すテスト関数が、どのような条件下で可積分となるかを確立する。
• 弱いディンキン型の公式や弱い推定式といった主要な結果を、バナッハ空間設定へ一般化する。

提案手法

• 進化族、弱いドリフト、弱い拡散係数を用いて、UMDバナッハ空間における弱いイト過程を定義する。
• ヒルバート空間版を一般化した、新しい弱いイトの公式（定理3.5）を導入し、型2を備えたUMDバナッハ空間値過程に適用可能であることを示す。
• γ-ラドニフィング作用素およびネミツキー作用素と乗法作用素の性質を活用し、自然なテスト関数を構築する。
• 一様可積分性とバーグシュタイン＝デイヴィス＝ガンディー型不等式に依拠して、弱いイトの公式を用いて終端値の弱い推定を確立する。
• モーメントの有界性と確率積分の推定を用いて、多項式成長を示すテスト関数の収束性および可積分性を証明する。
• 理論を応用し、バナッハ空間設定における弱いディンキン型の公式および終端値の弱い推定を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 弱いイトの公式は、ヒルバート空間から型2を備えたUMDバナッハ空間へ一般化可能か？
• RQ2 弱いイトの公式は、バナッハ空間におけるSPDEの数値近似の弱収束率を証明するためにどのように応用可能か？
• RQ3 弱いイト過程における多項式成長を示すテスト関数が、どのような条件下で可積分となるか？
• RQ4 γ-ラドニフィング作用素および進化族の性質は、バナッハ空間値過程へのイト積分の一般化をどのように支援するか？
• RQ5 UMD性および型2の性質は、非ヒルバート空間への弱いイトの公式の一般化を可能にする役割を果たすか？

主な発見

• 弱いイトの公式は、型2を備えたUMDバナッハ空間へ成功裏に一般化され、ヒルバート空間を超えてその適用範囲が拡大された。
• 一般化された公式により、SPDEの数値近似における本質的に鋭い弱収束率を導出可能となった。
• 初期値、ドリフト係数、拡散係数の適切なモーメント条件のもとで、多項式成長を示すテスト関数が可積分であることが示された。
• 確率積分のモーメントを制御するため、一様可積分性およびバーグシュタイン＝デイヴィス＝ガンディー型不等式に依拠した証明が行われた。
• バナッハ空間設定において、弱いディンキン型の公式および終端値の弱い推定が確立され、SPDE解の解析に有用なツールが得られた。
• フレームワークは、ネミツキー作用素および乗法作用素を、一般化された弱いイトの公式における自然なテスト関数の例として支持する。