[論文レビュー] On the Minimum Chordal Completion Polytope

David Bergman, Carlos Cardonha+2 more|arXiv (Cornell University)|Dec 6, 2016

graph theory and CDMA systems被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、完全削除順序ingsに依存しない、誘導サイクルに基づくエッジ空間制約を用いた最小弦的完了問題（MCCP）の新しい整数プログラミング定式化を提案する。この定式化は、完全削除順序ingsに依存しない。また、遅延制約生成としきい値ベース分離を組み合わせたハイブリッド解法を提案し、従来の手法を著しく上回り、多くのベンチマークインスタンスを初めて最適に解けるようになった。

ABSTRACT

A graph is chordal if every cycle of length at least four contains a chord, that is, an edge connecting two nonconsecutive vertices of the cycle. Several classical applications in sparse linear systems, database management, computer vision, and semidefinite programming can be reduced to finding the minimum number of edges to add to a graph so that it becomes chordal, known as the minimum chordal completion problem (MCCP). In this article we propose a new formulation for the MCCP which does not rely on finding perfect elimination orderings of the graph, as has been considered in previous work. We introduce several families of facet-defining inequalities for cycle subgraphs and investigate the underlying separation problems, showing that some key inequalities are NP-Hard to separate. We also show general properties of the proposed polyhedra, indicating certain conditions and methods through which facets and inequalities associated with the polytope of a certain graph can be adapted in order to become valid and eventually facet-defining for some of its subgraphs or supergraphs. Numerical studies combining heuristic separation methods based on a threshold rounding and lazy-constraint generation indicate that our approach substantially outperforms existing methods for the MCCP, solving many benchmark graphs to optimality for the first time.

研究の動機と目的

• 完全削除順序ingsに依存しない新しい数学的プログラミング定式化を、最小弦的完了問題（MCCP）に対して開発すること。
• 誘導サイクル部分グラフからの顔定義不等式を同定することで、MCCPの多面体構造を調査すること。
• 遅延制約生成とヒューリスティクス分離を組み合わせたハイブリッド解法を設計し、大規模MCCPインスタンスの効率的解法を実現すること。
• 従来の厳密法およびヒューリスティクス法と比較して、特に以前に解けなかったベンチマークグラフの最適解を求める上で優れた計算的性能を示すこと。

提案手法

• 定式化は、グラフ内の誘導サイクルから導かれる指数的多数の弦的不等式に基づく。これらは完全削除順序ingsを必要とせず、エッジ空間上で直接定義される。
• サイクル部分グラフに対する顔定義不等式が導出され、それらの上位グラフおよび下位グラフへの一般化はリフトプロシージャを用いて検討された。
• ハイブリッド解法が採用され、遅延制約生成としきい値ラウンドに基づくヒューリスティクス分離法が統合され、違反不等式の効率的同定が可能になった。
• 最適化プロセスの初期段階で実行可能な解を生成するためのプライマルヒューリスティクスが含まれている。
• 重要な不等式の分離がNP困難であることが示され、実用的においてヒューリスティクス分離の有効性が裏付けられた。
• 数値実験では、重要なカットに対しては正確な分離を、スケーラビリティを確保するためにはしきい値ベース分離を組み合わせた。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 完全削除順序ingsに依存しない新しいMCCP定式化を開発可能か。これにより、より直接的な多面体的解析が可能になるか。
• RQ2 誘導サイクル部分グラフから導出可能な顔定義不等式の族は何か。また、それらは他のグラフにどのように一般化できるか。
• RQ3 遅延制約生成としきい値ベース分離を組み合わせたハイブリッドアプローチは、大規模MCCPインスタンスの解法においてどの程度効果的か。
• RQ4 この手法は、従来のアプローチが失敗したベンチマークインスタンスを、どの程度最適に解けるか。

主な発見

• サイクルに基づく不等式を用いた提案定式化は、従来の厳密法よりも著しく優れた性能を示し、多くのベンチマークグラフを初めて最適に解けるようになった。
• dimacsおよびその他の標準ベンチマークインスタンスでは、既存のアプローチと比較して大幅に短縮された時間で、最適または近似最適解を一貫して得られた。
• しきい値ラウンドと遅延制約生成を組み合わせたハイブリッドアプローチにより、多くのインスタンスで10,000以上のカットが同定された。特にタイプ(I2)と(I4)が最も頻繁に追加された。
• 大多数のインスタンスにおいて、カットは整数ノードでの分離ではなく、主にしきい値分離手順によって同定された。これは、ヒューリスティクス分離戦略の有効性を示している。
• 特に密度の高いおよび大規模なグラフにおいて、最新のヒューリスティクスMDOを上回る解の質と効率を示した。
• myzciel6やDSJC125.9などの複数のインスタンスで、従来の手法が到達できなかった最適解を達成した。これは、本手法の計算的優位性を示している。