[論文レビュー] On the minimum diameter of plane integral point sets

Sascha Kurz, Alfred Wassermann|ArXiv.org|Apr 8, 2008

Analytic Number Theory Research参考文献 19被引用数 18

ひとこと要約

本稿では、すべての対比較距離が整数であり、かつすべての点が一直線上にない平面整数点集合の最小直径を調査する。全数探索と順序付き生成アルゴリズムを用いて、新しい正確な値が得られ、エドósの問題の最初の確認された解が得られた：一般位置（3点が一直線上にない、4点が同一円周上にない）における7点の最小直径は22,270である。研究では、最小直径の構成がしばしばn−1個の点が一直線上に並ぶ構造を示すことが判明し、その結果、多くの点が一直線上にある場合のd(2,n)に対する新たな下界が得られ、既知の上界と対数的要因を除いてほぼ一致する。

ABSTRACT

Since ancient times mathematicians consider geometrical objects with integral side lengths. We consider plane integral point sets $\mathcal{P}$, which are sets of $n$ points in the plane with pairwise integral distances where not all the points are collinear. The largest occurring distance is called its diameter. Naturally the question about the minimum possible diameter $d(2,n)$ of a plane integral point set consisting of $n$ points arises. We give some new exact values and describe state-of-the-art algorithms to obtain them. It turns out that plane integral point sets with minimum diameter consist very likely of subsets with many collinear points. For this special kind of point sets we prove a lower bound for $d(2,n)$ achieving the known upper bound $n^{c_2\log\log n}$ up to a constant in the exponent. A famous question of Erdős asks for plane integral point sets with no 3 points on a line and no 4 points on a circle. Here, we talk of point sets in general position and denote the corresponding minimum diameter by $\dot{d}(2,n)$. Recently $\dot{d}(2,7)=22 270$ could be determined via an exhaustive search.

研究の動機と目的

• すべての対比較距離が整数であり、かつすべての点が一直線上にない平面整数点集合について、n点における最小直径d(2,n)の正確な値を特定すること。
• このような最小直径構成の構造を調査すること、特に、多くの点が一直線上に並ぶか、または同一円周上にある傾向があるかどうかを検討すること。
• エドósが提起した未解決問題、すなわち、一般位置（3点が一直線上にない、4点が同一円周上にない）におけるn=7のときのḋ(2,n)の存在と値を解明すること。
• 多くの点が一直線上にある場合のd(2,n)に対して、既知の上界と指数部の定数因子を除いて一致する新たな下界を確立すること。

提案手法

• 1つの集合を拡張するのではなく、2つの整数点集合を組み合わせてより大きな集合を構成する、順序付き生成の新規変種を用いた全数探索。
• 整数距離を持つ点集合を体系的かつ検証可能に探索・検証するため、クリーク探索アルゴリズムを用いた。
• 与えられた整数点集合内の非退化三角形において、(a+b+c)(a+b−c)(a−b+c)(−a+b+c) の平方自由部を三角形の特徴と定義し、その値がすべての非退化三角形で一定であることを分析した。
• 一直線上の整数点集合における距離と整数の因数分解との間の数論的関係を確立し、このような構成を効率的に生成可能とした。
• n^δ 個の点が一直線上にある整数点集合の直径に対して、そのような構成の数と整数上での乗法的関数の成長率との関係を用いて、下界を導出。
• 固定された三角形特徴と直径を持つ標準的整数点集合の数を分析することで、一般構成への下界の拡張戦略を提案。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 n が小さい場合、特にn ≥ 9 のとき、最小直径d(2,n)の正確な値は何か？
• RQ2 半一般位置（3点が一直線上にない）における平面整数点集合で最小直径をとるものは、常に同一円周上にあるか？
• RQ3 一般位置（3点が一直線上にない、4点が同一円周上にない）における7点の最小直径ḋ(2,7)は何か？エドósが提起した長年の未解決問題を解消する。
• RQ4 n ≥ 9 のとき、すべての最小直径平面整数点集合が、n−1個の点が一直線上にある部分集合を含むとされるのは真か？
• RQ5 高密度に一直線上にある構成に制限を設けずに、既知の上界n^{c₂ log log n}と一致するタイトな下界d(2,n)を確立できるか？

主な発見

• 一般位置における7点の最小直径ḋ(2,7)は正確に22,270であり、エドósが提起した長年の未解決問題が解決された。
• n ≤ 36 の範囲で、すべての既知の半一般位置における最小直径平面整数点集合は、半径r = z/k√k（k ∈ {3,7,15}、zは多くの素因数を持つ整数）の円周上に存在する。
• 9 ≤ n ≤ 122 の範囲で、最小直径平面整数点集合は、n−1個の点が一直線上にあり、1点が直線から外れている構成から成り、n ≥ 9 の場合にこのような構成が最適であるという仮説を支持する。
• n^δ 個の点が一直線上にある整数点集合の直径に対して、新たな下界を確立した：十分大きなnに対して、diam(P) ≥ n^{δ/(4 log 2(1+ε)) log log n} が成り立ち、既知の上界と指数部の定数因子を除いて一致する。
• 数値的証拠から、固定された直径dと三角形特徴を持つ標準的整数点集合の数がO(d^{c/log log d})のオーダーで増加することが示唆され、これが証明されれば、適切な定数c′, c'' に対してd(2,n) ≥ c′ n^{c'' log log n} の下界が得られる。
• 本稿は、最小直径整数点集合の構造が、特に整数の因数分解や円周上の有理数距離の分布といった数論的性質と深く関係しているという強力な計算的証拠を提供している。