[論文レビュー] On the minimum output entropy of single-mode phase-insensitive Gaussian channels

Haoyu Qi, Mark M. Wilde+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 18, 2016

Quantum Mechanics and Applications参考文献 14被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、単モード位相不感応ガウス指向の最小出力エントロピーを調査し、固定された入力フォン・ノイマンエントロピー制約下で、熱状態が出力エントロピーを最小化すると提案している。ラグランジュ乗数法を用いて、熱状態は局所的最小値であるが、ゲージ共変指向のチャンネルでは非熱的フォック状態も臨界点として出現するが、その物理的妥当性は未だ不明である。本研究では、ゲージ共変指向のチャンネルで熱状態が最適であるならば、ゲージ反変指向のチャンネルに対しても同様に成り立つことを示しており、これは量子制限アンプラーチャンネル容量に関する未解決問題を解消するものである。

ABSTRACT

Recently de Palma et al. [IEEE Trans. Inf. Theory 63, 728 (2017)] proved---using Lagrange multiplier techniques---that under a non-zero input entropy constraint, a thermal state input minimizes the output entropy of a pure-loss bosonic channel. In this note, we present our attempt to generalize this result to all single-mode gauge-covariant Gaussian channels by using similar techniques. Unlike the case of the pure-loss channel, we cannot prove that the thermal input state is the only local extremum of the optimization problem. %It is unclear to us why the same techniques do not lead to a proof for amplifier channels. However, we do prove that, if the conjecture holds for gauge-covariant Gaussian channels, it would also hold for gauge-contravariant Gaussian channels. The truth of the latter leads to a solution of the triple trade-off and broadcast capacities of quantum-limited amplifier channels. We note that de Palma et al. [Phys. Rev. Lett. 118, 160503 (2017)] have now proven the conjecture for all single-mode gauge-covariant Gaussian channels by employing a different approach from what we outline here. Proving a multi-mode generalization of de Palma et al.'s above mentioned result---i.e., given a lower bound on the von Neumann entropy of the input to an $n$-mode lossy thermal-noise bosonic channel, an $n$-mode product thermal state input minimizes the output entropy---will establish an important special case of the conjectured Entropy Photon-number Inequality (EPnI). The EPnI, if proven true, would take on a role analogous to Shannon's EPI in proving coding theorem converses involving quantum limits of classical communication over bosonic channels.

研究の動機と目的

• 固定された入力フォン・ノイマンエントロピー制約下で、一般のゲージ共変ガウス指向において、熱状態が出力エントロピーを最小化するかを特定すること。
• デ・パルマら（2017年）の純損失指向に関する結果を、ラグランジュ乗数法を用いて一般のゲージ共変ガウス指向に拡張すること。
• 最適化問題において、非熱的フォック状態が有効な臨界点として存在するかどうかを調査し、熱状態解の一意性に挑戦する可能性を検討すること。
• ゲージ共変指向のチャンネルで解が得られれば、ゲージ反変指向のチャンネルに対しても同様の解が得られることを示し、三重トレードオフおよびブロードキャスト容量の解消を可能にすること。
• 多モード一般化のガウス最適化予想を証明する基盤を築くこと。この予想は、エントロピー光子数不等式（EPnI）を意味する。

提案手法

• 入力エントロピーを制約条件とするラグランジュ乗数を用いた制約付き最適化問題として、出力エントロピー最小化問題を定式化する。
• 局所的極値をチャンネルダイナミクス下でのエントロピー関数の微小版に還元して分析する。
• ゲージ共変指向のチャンネルにおけるラグランジアンの運動方程式を解析し、熱状態および追加の非熱的フォック状態解を同定する。
• ゲージ共変指向のチャンネルの対称性と構造を活用して、熱状態が出力エントロピーを最小化するならば、ゲージ反変指向のチャンネルに対しても同様に成り立つことを証明する。
• 既知の純損失指向に関する結果を活用し、すべての位相不感応指向に対して完全な予想を証明する道筋を築く。
• ガウス指向のリンドブラッド作用素表現を用いて、増幅および損失下での入力状態の時間発展をモデル化する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般のゲージ共変ガウス指向において、固定された入力フォン・ノイマンエントロピーを持つすべての入力状態の中で、熱状態が唯一出力エントロピーを最小化するか？
• RQ2 ラグランジュ最適化において、熱状態に加えてフォック状態のような他の臨界点が存在するか。それらは有効な局所的極値を表すのか？
• RQ3 ゲージ共変指向のチャンネルで熱状態が出力エントロピーを最小化するならば、ゲージ反変指向のチャンネルに対しても同様に成り立つのか。量子容量領域にどのような意味を持つのか？
• RQ4 予想を多モード位相不感応ガウス指向に拡張可能か。このような結果が、エントロピー光子数不等式（EPnI）の証明に果たす役割は何か？
• RQ5 非熱的フォック状態解が最適化において有効な最小化子でないことを排除する物理的制約は、存在するか？

主な発見

• 固定された入力エントロピー制約下で、すべての単モード位相不感応ガウス指向において、熱状態は出力エントロピー関数の局所的最小値である。
• 純損失の場合とは異なり、ラグランジュ乗数法によりフォック状態に対応する追加の臨界点が明らかになった。これらは熱状態より高い出力エントロピーを持つ局所的極値を表す可能性がある。
• これらの非熱的臨界点の存在により、現在の手法では完全なグローバル最適性の証明が困難である。なぜなら、それらの物理的妥当性および最適化の多様性における役割が未だ不明であるからである。
• ゲージ共変指向のチャンネルで熱状態がグローバル最小化子であるならば、ゲージ反変指向のチャンネルに対しても同様に成り立つ。これは、量子制限アンプラー指向の容量に関する未解決問題を解消する。
• この結果により、量子制限アンプラー指向の三重トレードオフおよびブロードキャスト容量が、熱状態の最小化性によって完全に決定されることを示唆する。
• 多モード一般化の予想—すなわち、結合入力エントロピー制約下で積状態の熱状態が出力エントロピーを最小化する—は未解決であり、エントロピー光子数不等式（EPnI）の特殊ケースに等しい。