[論文レビュー] On the motive of zero-dimensional Quot schemes on a curve

Massimo Bagnarol, Fantechi Barbara+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 1, 2019

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 3被引用数 8

ひとこと要約

本論文は、滑らかな射影的曲線 $ C $ 上の局所自由層 $ \mathscr{E} $ の 0 次元商をパラメトライズする Quot スキームのクラスが、特定の層 $ \mathscr{E} $ に依存せず、ランク $ r $ と長さ $ n $ のみに依存することを証明している。$\mathrm{K}_0(\mathsf{Var})$ 内で $[\mathrm{Q}^n_C(\mathscr{E})] = [\mathrm{Q}^n_C(\mathscr{O}_C^\oplus r)]$ が成り立ち、対称積を用いた明示的公式が得られ、その既約性が示され、Poincar\'e 多項式が計算されている。

ABSTRACT

For any locally free coherent sheaf on a fixed smooth projective curve, we study the class, in the Grothendieck ring of varieties, of the Quot scheme that parametrizes zero-dimensional quotients of the sheaf. We prove that this class depends only on the rank of the sheaf and on the length of the quotients. As an application, we obtain an explicit formula that expresses it in terms of the symmetric products of the curve.

研究の動機と目的

• 滑らかな射影的曲線 $ C $ 上の局所自由層の 0 次元商をパラメトライズする Quot スキームの、代数的多様体の Grothendieck 環におけるクラスを研究すること。
• このクラスが特定の層 $ \mathscr{E} $ に依存するか、それともランクと商の長さにのみ依存するかを同定すること。
• このクラスを曲線の対称積を用いて明示的に表現し、Quot スキームの既約性を確立すること。
• 既知の $ r=1 $ の場合、すなわち $ \mathrm{Q}^n_C(\mathscr{O}_C) \cong \mathrm{Sym}^n(C) $ の場合を一般化し、高ランクの層へと拡張すること。

提案手法

• 商の台を送る自然な準同型 $ \sigma: \mathrm{Q}^n_C(\mathscr{E}) \to \mathrm{Sym}^n(C) $ を定義する。
• 準同型 $ \sigma $ のファイバーが、ある開部分集合 $ U \subset C $ 上の Quot スキームに同型であり、その同型型が $ \mathscr{E} $ のランク $ r $ のみに依存することを示す。
• ランク $ r $ の $ \mathbf{a} \in \mathbb{N}^r $ で $ |\mathbf{a}| = n $ を満たす多重指数に添えられた、$ \mathrm{Q}^n_C(\mathscr{E}) $ の層化を用いた分割を構成する。これは、互いに交わらない開部分集合上で商の次数に対応する。
• 同型 $ \mathrm{Q}^n_C(\mathscr{E}) \cong \mathrm{Q}^{n-|\mathbf{a}|}_U(\mathscr{E}) \times F_r(D) $ を構成する。ここで $ D $ は台で、$ F_r(D) $ は $ D $ 上のランク $ r $ の商のフラッグ多様体である。
• Grothendieck 環の加法性を用いて、$ [\mathrm{Q}^n_C(\mathscr{E})] $ を $ \mathbf{a} \in A $ の和として表し、$ \mathscr{E}|_U $ が自明であることから、$ \mathscr{O}_C^{\oplus r} $ の場合に還元する。
• Bifet (1989) の結果を用いて、対称積 $ \mathrm{Sym}^{n_i}(C) $ と $ \mathbb{A}^1_k $ のべき（指数 $ d_{\mathbf{n}} = \sum_{i=1}^r (i-1)n_i $）を用いた明示的公式を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Grothendieck 環における $ \mathrm{Q}^n_C(\mathscr{E}) $ のクラスは、$ \mathscr{E} $ のランクと長さ $ n $ のみに依存するか、それとも特定の層 $ \mathscr{E} $ にも依存するか？
• RQ2 $ [\mathrm{Q}^n_C(\mathscr{E})] $ は、対称積 $ \mathrm{Sym}^m(C) $ のクラスを用いて明示的に表現可能か？
• RQ3 Quot スキーム $ \mathrm{Q}^n_C(\mathscr{E}) $ は、滑らかであるという事実から、既約であるか？
• RQ4 $ \mathrm{Q}^n_C(\mathscr{E}) $ の Poincar\'e 多項式は何か？また、これは曲線 $ C $ の幾何にどのように関係するか？

主な発見

• 代数的多様体の Grothendieck 環における $ \mathrm{Q}^n_C(\mathscr{E}) $ のクラスは、ランク $ r $ の局所自由層 $ \mathscr{E} $ の選び方に依存せず、$[\mathrm{Q}^n_C(\mathscr{E})] = [\mathrm{Q}^n_C(\mathscr{O}_C^{\oplus r})]$ を満たす。
• 明示的公式が得られた：$[\mathrm{Q}^n_C(\mathscr{E})] = \sum_{\mathbf{n} \in \mathbb{N}^r, |\mathbf{n}|=n} [\mathrm{Sym}^{n_1}(C)] \cdots [\mathrm{Sym}^{n_r}(C)] \cdot [\mathbb{A}^1_k]^{d_{\mathbf{n}}} $、ここで $ d_{\mathbf{n}} = \sum_{i=1}^r (i-1)n_i $。
• Quot スキーム $ \mathrm{Q}^n_C(\mathscr{E}) $ は既約である。これは、その Poincar\'e 多項式における $ t^0 $ の係数が 1 であり、これは $ \mathbf{n} = (n,0,\dots,0) $ のときのみ達成されるためである。
• $ \mathrm{Q}^n_C(\mathscr{E}) $ の Poincar\'e 級数は $ \prod_{i=0}^{r-1} \frac{(1 + t^{2i+1}u)^{2g}}{(1 - t^{2i}u)(1 - t^{2i+2}u)} $ で与えられ、ここで $ g $ は $ C $ の種数である。
• 準同型 $ \sigma: \mathrm{Q}^n_C(\mathscr{E}) \to \mathrm{Sym}^n(C) $ のファイバーは、ランク $ r $ の商のフラッグ多様体に同型であり、これらファイバーは $ \mathscr{E} $ に依存せず、$ r $ のみに依存する。
• 層 $ \mathscr{E} $ を線分束でテンソル積しても Quot スキームの同型型は保たれるが、$ r=1 $ の場合を除き、スキーム自体は $ \mathrm{Q}^n_C(\mathscr{O}_C^{\oplus r}) $ に同型でない。