[論文レビュー] On the multiplicities of families of complex hypersurface-germs

Camille Plénat, David Trotman|arXiv (Cornell University)|Feb 23, 2012

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 1被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、複素超曲面芽の $μ$-定数族の等多重性を調査し、定義関数の接錐に特定の幾何的条件が満たされれば、多重度が一定に保たれることを証明する。 Lê-Saito-Teissier の $μ$-定数性の基準を用いて、$f$ の接錐の特異点集合が $h$ の接錐に含まれない場合には、族 $f + tg + t^2h$ は等多重性を示すことが示され、Zariski の多重度の位相的不変性に関する問題の重要なケースが解決される。

ABSTRACT

We show that the possible drop in multiplicity in an analytic family $F(z,t)$ of complex analytic hypersurface singularities with constant Milnor number is controlled by the powers of $t$. We prove equimultiplicity of $μ$-constant families of the form $f + tg + t^2h$ if the singular set of the tangent cone of $\{f = 0}$ is not contained in the tangent cone of $\{h = 0}$.

研究の動機と目的

• 複素超曲面芽の $μ$-定数族が等多重性を示すかどうかを調査し、特異点論における中心的未解決問題に取り組む。
• Teissier の予想（$μ$-定数性が等多重性を意味する）を検証し、それが多重度の位相的不変性に関する Zariski の問題を解決する。
• 族の初期形の接錐に関する幾何的条件を同定し、等多重性を保証する。
• Whitney や $(C)$-正則性の下での等多重性に関する先行結果を、より広いクラスの $μ$-定数族へ拡張する。

提案手法

• Lê-Saito-Teissier の基準を適用：$μ$-定数性は、$(z,t) \to (0,0)$ のとき $|F_t| / ||F_z|| \to 0$ と同値であり、ここで $F_t = \partial F/\partial t$ および $F_z = (\partial F/\partial z_1, \dots, \partial F/\partial z_n)$ である。
• 解析的弧 $\gamma(u) = (uz_0, ut_0)$ 沿いでの $F_t$ と $F_z$ の零点の位数を分析し、基準の違反を検出する。
• 初期形 $f_m$ と $h_m$ を用いて接錐を定義し、$f_m=0$ の特異点集合 $\Sigma(f_m)$ を研究する。
• $\Sigma(f_m) \not\subset \{h_m = 0\}$ という条件を課すことにより、$F_z$ の零点の位数が十分に高くなるように保証する。
• 位数論的議論を用いる：$V(F_t) = \min_k \{ (k-1) + v(g_k) \}$ および $V(F_z) = \min\{m-1, V(F_t)\}$ であり、ここで $v(g_k)$ は $g_k$ の弧沿いでの位数である。
• 背理法により、$m(h) = m-1$ のとき Lê-Saito-Teissier の基準が満たされないことを示し、$m(h) \geq m$ を示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $f$ と $h$ の接錐にどのような条件下で、族 $F(z,t) = f(z) + tg(z) + t^2h(z)$ の $t$ が十分小さいときの多重度が一定になるか？
• RQ2 $\Sigma(f_m) \subset \{h_m = 0\}$ が成り立たないことは、$μ$-定数族における等多重性を意味するか？
• RQ3 $m(h) = m-1$ のとき、Lê-Saito-Teissier の基準を用いて多重度のジャンプを除外できるか？
• RQ4 $f$ が孤立した接錐特異点を持つ場合、$f + tg + t^2h$ の形の $μ$-定数族は等多重性を示すか？
• RQ5 接錐の特異点集合が $h$ に関して非退化であれば、$m(h) \geq m$ が保証されるか？

主な発見

• $\{f=0\}$ の接錐の特異点集合が $\{h=0\}$ の接錐に含まれない場合、$m(h) \geq m$ であり、$t$ が十分小さいとき $F(\cdot,t)$ の多重度は一定である。
• $F(z,t) = f(z) + tg(z) + t^2h(z)$ が $μ$-定数であるとき、$m(h) = m-1$ であれば、Lê-Saito-Teissier の基準が破られる。
• $F_t$ と $F_z$ の零点の位数を一般の弧で分析することで、$g$ の多重度は $m(g) \geq m = m(f)$ を満たすことが示される。
• この結果は高次族へ拡張可能である：$\Sigma(f_m) \not\subset \{g_k = 0\}$ であれば、$μ$-定数族に対して $m(g_k) \geq m - k + 2$ が成り立つ。
• $\Sigma(f_m) \not\subset \{h_m = 0\}$ という条件により、$t$ の低次の項が $F_z$ の位数を不安定化させることを防ぎ、基準を維持する。
• 証明は $t$ のべきの分離に依存しており、一般の弧上でのキャンセルが発生しないため、位数推定が保たれる。