[論文レビュー] On the Non-existence of Perfect Sequences with the Array Orthogonality Property

Sam Blake|arXiv (Cornell University)|Mar 14, 2026

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ひとこと要約

論文は、配列直交性プロパティ（AOP）を用いて二変数多項式または床関数リニア指数関数を用いた n 位相アルファベット上のシーケンスの長さは Frank–Heimiller 境界 n^2 を超えられないことを証明する；また、非可換四元数設定での境界と例外についても述べている。

ABSTRACT

For over three decades, the pursuit of perfect periodic autocorrelation sequences has been constrained by Mow's conjecture, which posits that no perfect sequence over an $n$-phase alphabet can exist with a length greater than $n^2$. While a proof across all conceivable sequence classes remains an open problem, this paper establishes bounds for a prominent class of constructions relying on the Array Orthogonality Property (AOP). We show that sequences generated by pure bivariate polynomial index functions cannot exceed the $n^2$ Frank-Heimiller bound due to algebraic periodicity. Furthermore, we extend this result to floored rational index functions, proving that attempts to geometrically expand the array dimensions inherently result in destructive fractional phase scattering. Neutralising this scattering strictly forces a collapse of the phase space, re-establishing the $n^2$ limit. Finally, we define the boundaries of these theorems, noting their fundamental reliance on commutative algebras, and contrast them with recent sequence constructions demonstrating the existence of unbounded perfect sequences over non-commutative unit quaternions.

研究の動機と目的

• 完璧な周期自己相関列と Mow の猜想を AOP フレームワークで研究動機づける。
• 二変数多項式および床関数リニア指数関数を用いた AOP ベース構成の幾何境界を確立する。
• 可換性の役割を明確にし、非可換四元数列結果と対比する。

提案手法

• AOP を定義し、それがシーケンスおよび関連する R×C 配列に与える影響を説明する。
• 補題1 を用いて、指数関数的関数が同相の代数的周期性を n を法として誘導することを示す。
• AOP を持つ配列について上界 C ≤ n および R ≤ n を導出し、L = RC ≤ n^2 に至る。
• 床関数リニア指数関数へ拡張して L ≤ n^2K^2 の界を得る（指数 floor(p(i,j)/n)）。
• 可換性の影響を論じ、非可換四元数結果と文脈を提供する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 AOP ベースの構成が polynomial 指数関数を用いた場合、n 位相アルファベットで長さを n^2 より超えるシーケンスを許すか？
• RQ2 床関数リニア指数関数は幾何空間を十分に広げて n^2 の境界を超えることができるか、どの条件下で？
• RQ3 可換性は境界にどのような影響を与えるか、非可換代数はより長い完璧なシーケンスを許すのか？
• RQ4 AOP 派生の配列とその行・列和の射影が長さを制約する点との関係は？
• RQ5 Mow の猜想を最近の四元数ベース構成と整合させる基本的境界は存在するのか？

主な発見

• AOP と二変数多項式指標関数によって生成されるシーケンスは Frank–Heimiller の極限に束縛される：L ≤ n^2。
• 床関数リニア指数関数は潜在的な境界を L ≤ n^2K^2 に拡張するが、破壊的な分数位の拡散を解決する必要がある。
• 完璧な配列の列和と行和は完璧なシーケンスを生み出し、行・列ベースの境界推定を可能にする。
• 界は複素単位根の可換性に依存する；非可換単位量子はこれらの限界を回避し得る。
• 最近の四元数構成は完璧なシーケンスが無限に存在し得ることを示し、可換と非可換設定の境界を強調する。