[논문 리뷰] On the notion of spectral decomposition in local geometric Langlands

Sam Raskin|arXiv (Cornell University)|2015. 11. 04.

Advanced Topics in Algebra참고 문헌 23인용 수 13

한 줄 요약

이 논문은 임의의 분기성을 가진 재수성 군에 대한 국소 기하 Langlands에서 두 자연스러운 스펙트럼 분해 개념의 동치성을 증명한다. 이는 de Rham 국소계의 모듈리 공간 위에서 호모로지 대수학을 사용하여 이루어지며, 이 무한차원 모듈리 공간이 Artin 스택처럼 행동함을 보여, 모든 표현(단지 기약 표현이 아니더라도)에 대한 스펙트럼 분해를 가능하게 한다. 이는 야수적 분기성을 포함한 완전한 기하 Langlands 이론의 존재를 지지한다.

ABSTRACT

The geometric Langlands program is distinguished in assigning spectral decompositions to all representations, not only the irreducible ones. However, it is not even clear what is meant by a spectral decomposition when one works with non-abelian reductive groups and with ramification. The present work is meant to clarify the situation, showing that the two obvious candidates for such a notion coincide. More broadly, we study the moduli space of (possibly irregular) de Rham local systems from the perspective of homological algebra. We show that, in spite of its infinite-dimensional nature, this moduli space shares many of the nice features of an Artin stack. Less broadly, these results support the belief in the existence of a version of geometric Langlands allowing arbitrary ramification. Along the way, we give some apparently new, if unsurprising, results about the algebraic geometry of the moduli space of connections, using Babbitt-Varadarajan's reduction theory for differential equations.

연구 동기 및 목표

• 비아벨리안 재수성 군에 대한 분기성을 고려한 국소 기하 Langlands에서 스펙트럼 분해의 개념을 명확히 하기 위해.
• DG 범주와 de Rham 국소계의 모듈리 공간을 통한 두 후보 정의의 스펙트럼 분해가 일치하는지 보여주기 위해.
• 무한차원임에도 불구하고, de Rham 국소계의 모듈리 공간이 아티누 스택의 핵심 성질을 공유함을 보여, 호모로지 대수학 기법을 적용할 수 있음을 입증하기 위해.
• 야수적 분기성을 포함한 일반적인 경우에 대해 기하 Langlands 대응의 존재를 추측적으로 지지하기 위해.
• Beilinson-Bezrukavnikov 이론을 무분기 및 정칙 특이점의 경우를 초월해 확장하기 위한 기초 기하학적 및 호모로지 도구를 마련하기 위해.

제안 방법

• 구멍이 난 형식적 디스크 $\overset{\circ}{{\mathcal{D}}}$ 위의 de Rham 국소계의 모듈리 공간에서 호모로지 대수학을 사용한다.
• Babbitt-Varadarajan 감소 이론을 적용하여 비정칙 특이점을 가진 미분방정식과 접속을 분석한다.
• 무한차원 성격을 다루기 위해 프로-완전 복합체와 타이트 모듈을 사용한다.
• de Rham 코hom로지 설정에서 $A[[t]]$-격자 간 연결 맵의 프레드홀름 성질을 확립한다.
• 정확한 삼각형과 코너 분해를 사용하여 국소계의 코homology를 잘라낸 접속의 상사영과 연결한다.
• 1-아핀성 및 유도 기하 Satake 결과를 적용하여 기존 사례와 추측적 프레임워크를 연결한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 재수성 군에 대한 분기성을 고려할 때, 국소 기하 Langlands에서 두 자연스러운 스펙트럼 분해 개념—모듈리 공간 위의 DG 범주를 통한 정의와, 섬세한 분해를 통한 정의—가 일치하는가?
• RQ2 비정칙 특이점을 가진 de Rham 국소계의 모듈리 공간은 무한차원임에도 불구하고 스택 유사 성질을 갖는 기하적 대상으로 간주될 수 있는가?
• RQ3 기하 Langlands 설정에서 모든 스무스 표현에 대해, 온전히 온화하거나 기약 표현이 아닌 경우에도 일관된 스펙트럼 분해 이론이 존재하는가?
• RQ4 Babbitt-Varadarajan 감소 기법은 기저 스킴 위의 가족으로서의 전반적 설정으로 어떻게 일반화되는가?
• RQ5 유도 대수기하의 프레임워크를 사용하여 야수적 분기성을 포함한 상황에서 스펙트럼 분해를 정의하고 연구할 수 있는가?

주요 결과

• 재수성 군에 대한 임의의 분기성을 고려할 때, 국소 기하 Langlands에서 두 후보 정의의 스펙트럼 분해—모듈리 공간 위의 DG 범주를 통한 정의와 섬세한 분해를 통한 정의—가 일치한다.
• 무한차원임에도 불구하고, de Rham 국소계의 모듈리 공간은 핵심 호모로지 성질에서 Artin 스택처럼 행동한다.
• 격자 사이의 사상 $\nabla: \Lambda \to \Lambda'$는 기저 환 $A$ 위의 프로-완전 복합체 범주에서 프레드홀름이다.
• 충분히 큰 $r$에 대해, $\operatorname{Coker}(t^r\Lambda \xrightarrow{\nabla} \Lambda')$ 는 유한 계수 프로젝티브 $A$-모듈 $P$에 대해 $P[-1]$ 형태의 복합체와 준동치이다.
• 정수 $\ell$와 $r_0$가 존재하여, 모든 $r \geq r_0$에 대해 $t^{r+\ell}\Lambda' \subseteq \nabla(t^r\Lambda)$ 이고, 유한 계수 프로젝티브 몫이 존재한다.
• 구멍이 난 디스크 위의 de Rham 복합체의 코homology는 기저에 대해 완비이며, 스펙트럼 분해는 기저 변화와 호환된다.