[論文レビュー] On the NP-Completeness of Some Graph Cluster Measures

Jiřı́ Šı́ma, Schaeffer, Satu Elisa|ArXiv.org|Jun 29, 2005

Advanced Clustering Algorithms Research被引用数 17

ひとこと要約

この論文は、4つの主要なグラフクラスタ品質測定基準であるコンダクタンス、ローカル密度、相対密度、およびシングルクラスタ編集について、決定問題のNP完全性を証明している。Max Cut–3 や Min Bisection–3 といった既知のNP完全問題からの多項式時間還元を用いて、グラフクラスタリングにおける広く使われるフィットネス関数の最適化が計算的に非効率であることを形式的に確立し、学術文献における長年の仮定を解消した。

ABSTRACT

Graph clustering is the problem of identifying sparsely connected dense subgraphs (clusters) in a given graph. Proposed clustering algorithms usually optimize various fitness functions that measure the quality of a cluster within the graph. Examples of such cluster measures include the conductance, the local and relative densities, and single cluster editing. We prove that the decision problems associated with the optimization tasks of finding the clusters that are optimal with respect to these fitness measures are NP-complete.

研究の動機と目的

• 先行文献で仮定されていたが厳密に証明されていなかった、主要なグラフクラスタフィットネス測定基準の決定問題のNP完全性を形式的に確立すること。
• 特にコンダクタンスおよび密度に基づく測定基準について、最適化タスクの明示的複雑性証明の欠如に対処すること。
• Max Cut–3 や Min Bisection–3 といった既知のNP完全問題から、コンダクタンス、ローカル密度、相対密度、およびシングルクラスタ編集の決定問題への厳密な還元を提供すること。
• データマイニング、VLSI設計、ネットワーク解析において一般的に使われるクラスタ品質関数の最適化の計算的困難性を明確にすること。

提案手法

• 立方体グラフの補グラフの2つの互いに素なコピーを構成することで、NP完全問題であるMax Cut–3を最小コンダクタンス決定問題に還元する。
• 元のグラフに大きなカットが存在する場合に限り、変換されたグラフにおけるコンダクタンスがしきい値以下に抑えられるようにグラフを変形し、コンダクタンス最適化のNP困難性を証明する。
• NP完全問題であるMin Bisection–3を相対密度決定問題に還元する際、分割サイズ a に基づいた有理数のしきい値 r を設定する。
• 各頂点の次数が3である立方体グラフの性質を用いて、部分グラフ内の辺数の正確な式を導出し、分割サイズから密度しきい値への正確な還元を可能にする。
• Min Bisection–3を1–クラスタ編集決定問題に還元する際、分割サイズ a とグラフサイズ n に依存するしきい値 m を定義する。
• クラスタ編集コスト式 ε_G(S) = C(|S|,2) - |E(S)| + c_G(S) を代数的に操作し、編集コスト ≤ m とカットサイズ ≤ a が同値であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 無向グラフにおける最小コンダクタンスクラスタの決定問題はNP完全か？
• RQ2 k個の頂点の部分集合を、ローカル密度が最大にする決定問題はNP完全か？
• RQ3 k個の頂点の部分集合を、相対密度が最大にする決定問題はNP完全か？
• RQ4 k個の頂点部分集合を、高々m回の辺操作でクリークに変換できる決定問題はNP完全か？
• RQ5 これらのクラスタ品質測定基準のNP完全性は、既知のNP完全問題からの多項式時間還元を用いて形式的に証明可能か？

主な発見

• 最小コンダクタンス決定問題は、Max Cut–3 問題からの多項式時間還元によってNP完全であると証明された。
• ローカル密度決定問題はNP完全である。これは、r = 1 のとき、NP完全なクリーク問題に一般化されるためである。
• 相対密度決定問題はNP完全である。これは、Min Bisection–3 問題からの還元によって示され、しきい値 r = (3n - 2a)/(3n + 2a) を用いる。
• 1–クラスタ編集決定問題はNP完全である。Min Bisection–3 問題からの還元によって示され、m = (12a + n(n - 8))/8 を用いる。
• コンダクタンス、ローカル密度、相対密度、およびシングルクラスタ編集という4つのクラスタ品質測定基準の決定問題はすべてNP完全であり、それらの計算的非効率性が確認された。
• 本研究の結果は、クラスタリング文献における、これらのフィットネス関数最適化の困難性に関する長年の仮定を形式的に裏付けた。