[論文レビュー] On the one fluid limit for vortex sheet

Fabio Pusateri|ArXiv.org|Aug 24, 2009

Navier-Stokes equation solutions参考文献 11被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、片方の流体の密度が0に近づく際、表面張力付きの二相流渦膜問題の解が、真空中の1相自由界面Euler方程式の解に収束することを確立する。ラグランジュ座標における幾何的アプローチを用いて、適切な正則性および短時間の仮定の下で、界面および速度場がSobolev空間において収束することを証明する。これは、ケルビン＝ヘルムホルツ不安定性やレイノルズ＝ターレイ不安定性といった不安定性が存在する中でも、1相極限を厳密に正当化するものである。

ABSTRACT

We consider the interface problem between two incompressible and inviscid fluids in the presence of surface tension. Following the geometric approach of [Shatah,J.;Zeng,C. A priori estimates for Fluid Interface Problems. CPAM, vol.16, no.6, June 2008] we show that solutions to this problem converge to solutions of the free-boundary Euler equations in vacuum as one of the densities goes to zero.

研究の動機と目的

• 片方の流体の密度が0に近づく際、表面張力を伴う2相不圧縮性Euler系の1相極限を厳密に正当化すること。
• ケルビン＝ヘルムホルツおよびレイノルズ＝ターレイ不安定性によって生じる渦膜問題の非適切性を、表面張力の正則化によって解消し、収束が可能であることを示すこと。
• シャタフとゼンの幾何的枠組みを二相系に拡張し、極限における界面の曲率および法線微分を解析すること。
• 短時間区間内での界面および速度場について、Sobolevノルムにおける収束を確立すること。
• 極限解が表面張力を伴う真空中の自由界面Euler方程式を満たし、問題の物理的構造を保つことを示すこと。

提案手法

• 初期領域を固定するためのラグランジュ座標変換に基づく幾何的アプローチを用い、動的界面問題を固定領域設定に還元する。
• 平均曲率 $\kappa_+$ と法線微分 $\bar{\mathcal{N}}$ を含む曲率に基づくエネルギー関数を導入し、界面の時間発展を制御する。
• 渦度、界面の曲率、速度の正則性を統合した高次エネルギー推定を用い、非線形項を取り扱うために交換子推定を適用する。
• Sobolevノルム $H^l$（$l > n/2 + 2$）を用いたブートストラップ法により、界面および速度場の正則性を制御する。
• 体積保存写像の空間の接空間における曲率テンソルの収束を分析するため、$L^2(\rho^m dx)$-に基づく計量を用いる。
• 部分積分と補間を用いて、界面の運動および圧力ジャンプに起因する余分なエネルギー項を評価する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 片方の密度が0に近づく際、表面張力を伴う二相流渦膜問題の解が、真空中の1相自由界面Euler問題の解に収束するか？
• RQ2 ケルビン＝ヘルムホルツおよびレイノルズ＝ターレイ不安定性が存在する中で、表面張力は、そうでなければ非適切な渦膜問題をどのように正則化するか？
• RQ3 1相極限における界面および速度場の収束速度と正則性は、どのように正確に定まるか？
• RQ4 幾何的および曲率に基づくエネルギー推定は、二相系における界面の時間発展をどのように制御するか？
• RQ5 極限解が表面張力を伴う真空中の自由界面Euler方程式を満たすことが示せるか？どのような条件下で成立するか？

主な発見

• 表面張力を伴う二相Euler系の解は、$\rho_- \to 0$ のとき、真空中の1相自由界面Euler問題の解に収束する。
• 収束は任意の $l' < l$ に対して、$(S_t, v) \in L^\infty(H^{l-1/2}) \times L^\infty(H^{l'})$ で成立し、$l > n/2 + 2$ を満たす。
• 収束は初期データおよび正則性に依存する短時間区間 $[0, T]$ で成立する。
• エネルギー推定は、$\bar{\mathcal{N}}$ および $\Delta_{S_t}$ を含む高次関数を用いて、界面の曲率と速度を制御し、有界な誤差項をもたらす。
• 界面の運動に起因する余分なエネルギー項は、補間およびSobolev埋め込みを用いて制御され、全エネルギーの有界な増加が保証される。
• 極限解は表面張力を伴う自由界面Euler方程式を満たし、圧力ジャンプ条件は界面上で $p_+ = \epsilon^2 \kappa^\infty$ に簡略化される。