[論文レビュー] On the one-particle reduced density matrices of a pure three-qutrit quantum state

Atsushi Higuchi|ArXiv.org|Sep 25, 2003

Quantum Information and Cryptography参考文献 7被引用数 11

ひとこと要約

本稿は、純粋な3キュービット量子状態の3つの1キュービット密度行列が成す縮約密度行列の必要十分条件を確立する。既知のキュービット制約を一般化した、縮約密度行列の固有値を含む7つの不等式クラスを導出し、代数的手法と状態空間球面上のコンパクト性の議論を組み合わせた証明を実施する。

ABSTRACT

We present a necessary and sufficient condition for three qutrit density matrices to be the one-particle reduced density matrices of a pure three-qutrit quantum state. The condition consists of seven classes of inequalities satisfied by the eigenvalues of these matrices. One of them is a generalization of a known inequality for the qubit case. Some of these inequalities are proved algebraically whereas the proof of the others uses the fact that a continuous function of the state must have a minimum. Construction of states satisfying these inequalities relies on a representation of the convex set of the allowed set of eigenvalues in terms of corner points. We also present a result for a more general quantum system concerning the nature of the boundary surface of the set of the allowed set of eigenvalues.

研究の動機と目的

• 純粋な3キュービット量子状態から生じる3つの1キュービット縮約密度行列が満たすべき固有値制約の完全な集合を特定すること。
• 既知のキュービット制約を高次元のキュービット系に一般化し、特に2部系の固有値不等式を3部系に拡張すること。
• 導出された不等式を満たす任意の有効な固有値集合から、純粋な3キュービット状態を構成するための構成的技法を提供すること。
• 許容固有値集合の幾何的構造を分析し、その境界が極値状態（頂点状態）の凸結合から成ることを特定すること。

提案手法

• 純粋な3キュービット量子状態の3つの縮約密度行列が満たすべき7つの固有値不等式クラスを導出し、系の巡回置換を考慮する。
• 代数的手法を用いて、既知のキュービット制約をキュービットに一般化する最初の3つの不等式を証明する。
• 54次元の係数空間における単位球面のコンパクト性を用いて、連続関数の最小値の存在を示し、残りの不等式を証明する。
• 許容固有値集合を、1つの係数が1で他が0である極値状態（頂点）の凸包として表現し、明示的な状態構成を可能にする。
• 係数の摂動に基づく変分法を用いて、許容集合の境界超曲面がこれらの頂点によって定義される超平面に位置することを示す。
• 非退化固有値配置と超平面境界の関係を結ぶ補題を用い、許容集合の境界が部分的に超平面的であることを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 3つの1キュービット縮約密度行列の固有値にどのような必要十分条件が課されれば、それらが純粋な3キュービット量子状態から生じるか？
• RQ2 3キュービット系における固有値制約は、既知のキュービット系の不等式をどのように一般化するか？
• RQ3 許容固有値三つ組の集合の幾何的構造は何か？ そして、どのようにパrameter化可能か？
• RQ4 導出された不等式を満たす任意の有効な固有値三つ組は、明示的な純粋な3キュービット状態によって実現可能か？
• RQ5 許容固有値集合の境界の性質は、凸幾何学と極値状態の観点からどのように特徴づけられるか？

主な発見

• 必要十分条件は、3つの縮約密度行列の順序付き固有値を含む7つの不等式で与えられ、系の巡回置換を考慮する。
• 最初の3つの不等式はキュービットの場合を一般化し、そのうち1つは2キュービット縮約状態の既知のキュービット不等式の直接的な一般化である。
• 残りの4つの不等式は状態空間のコンパクト性を用いて証明され、状態係数の連続関数が最小値に達することを示している。
• すべての最小固有値が0である場合、非自明な制約は、すべての置換について $\lambda_2^{(a)} \leq \lambda_2^{(b)} + \lambda_2^{(c)}$ に簡略化され、従来のキュービット結果と整合することが確認される。
• 許容固有値の集合は、計算基底において1つの非ゼロ係数を持つ状態に対応する極値点を持つ凸ポリトープである。
• 許容固有値集合の境界は、それぞれ有限個の頂点点に対応する超平面から成り、制約関数の勾配に関する変分的議論により証明されている。