[論文レビュー] On the optimal feedforward torque control problem of anisotropic synchronous machines: Quadrics, quartics and analytical solutions

Hisham Eldeeb, Christoph M. Hackl+2 more|arXiv (Cornell University)|Nov 5, 2016

Electric Motor Design and Analysis参考文献 27被引用数 11

ひとこと要約

本稿は、トルク、電圧、電流制約を二次形式に再定式化することで、異方性同期機における最適フィードフォワードトルク制御問題の解析的解を提示する。これにより、4次多項式の根を求めることで、最適な直軸および直交軸電流リファレンスを正確に計算可能となる。本手法は数値近似や単純化仮定に依存せず、IPMSM や RSM を含むあらゆる機械タイプにおいて、MTPC、MTPV、MTPF、MC、および FW 策略のすべてに正確な解を提供する。

ABSTRACT

The optimal feedforward torque control problem is tackled and solved analytically for synchronous machines while stator resistance and cross-coupling inductance are explicitly considered. Analytical solutions for the direct and quadrature optimal reference currents are found for all major operation strategies such as Maximum Torque per Current (MTPC) (or often called as Maximum Torque per Ampere (MTPA)), Maximum Current (MC), Field Weakening (FW), Maximum Torque per Voltage (MTPV) and Maximum Torque per Flux (MTPF). Numerical methods (approximating the optimal solutions only) or simplifying assumptions (neglecting stator resistance and/or cross-coupling inductance) are no longer necessary. The presented results are based on one simple idea: all optimization problems (e.g. MTPC, MTPV or MTPF) with their respective constraints (e.g. current or voltage limit) and the computation of the intersection point(s) of voltage ellipse, current circle, or torque, MTPC, MTPV and MTPF hyperbolas are reformulated implicitly as quadrics (quadratic surfaces) which allow to solve the feedforward torque control problem by invoking the Lagrangian formalism and by finding the roots of a fourth-order polynomial analytically. The proposed solutions are applicable to any anisotropic (or isotropic) synchronous machine independent of the underlying current control strategy.

研究の動機と目的

• 同期機の最適フィードフォワードトルク制御において、数値近似や単純化仮定（例：定子抵抗や相互結合インダクタンスの無視）を排除すること。
• MTPC、MTPV、MTPF、MC、および界磁弱め制御の主な運用戦略すべてにおいて、直軸および直交軸電流リファレンスの正確な解析的解を提供すること。
• トルク、電圧、電流制約をすべて、d-q 電流空間における暗黙的な二次曲面として統一的に扱うこと。
• 機械タイプや制御戦略にかかわらず、異方性同期機に対して正確でリアルタイムな制御設計を可能にすること。

提案手法

• 機械のトルク、電圧制限、電流制限、磁束ノルムを、d-q 電流空間における暗黙的な二次曲面（二次形式）として再定式化する。
• ラグランジュ形式を適用し、各運用戦略における最適性の必要条件を導出し、二次曲面を含む方程式系への還元を行う。
• 2つの二次曲面（例：トルク双曲面と電圧楕円）の交点を、行列変換とベクトル射影を用いて、パラメータ γ に関する単一の4次多項式に変換する。
• 得られた4次多項式を既知の代数的手法を用いて解析的に解き、すべての実数解を計算し、物理的象限制約に基づいて正しい解を選別する。
• 二次曲面方程式における定数項がゼロとなる退化状態（例）を、座標系の平行移動により非退化状態に回復させ、数値的安定性を確保する。
• 解を元の d-q フレームに戻し、計算された電流ベクトルがすべての制約を満たし、指定された戦略下で最大トルクを発生させることを保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 異方性同期機における最適フィードフォワードトルク制御問題は、数値近似や単純化仮定なしに解析的に解けるか？
• RQ2 d-q フレームにおいて、非線形制約（例：トルク双曲面と電圧楕円）の交点を正確にどのように計算できるか？
• RQ3 MTPC、MTPV、FW などの主な運用戦略を、二次曲面と4次方程式を用いて一様に扱うことができる数学的構造は何か？
• RQ4 一般の4次多項式の根を解析的に計算し、それをリアルタイムに物理的電流リファレンスに変換する方法は何か？
• RQ5 行列 J を用いたヤコビアンに類似した変換が、交点問題を解ける4次方程式に還元する役割を果たす仕組みは何か？

主な発見

• 本稿では、任意の異方性または等方性同期機に対して、MTPC、MTPV、MTPF、MC、および界磁弱め制御戦略下での最適な直軸および直交軸電流リファレンスの正確な解析的式を導出する。
• 先行研究で一般的に用いられる数値ソルバーや単純化仮定（例：定子抵抗を無視、相互結合インダクタンスを無視）を回避する。
• すべての最適化問題が、1つの4次多項式の解法に還元され、既知の代数公式を用いて解析的に根を計算する。
• 任意の2つの二次曲面（例：トルク双曲面と電圧楕円）の交点は、パラメータ化された変換により、γ に関する4次多項式に還元され、閉形式で解ける。
• 座標系の平行移動により、定数項がゼロとなる退化状態に対しても、数値的安定性を保証する。
• 最終的な電流ベクトルは、x⋆(γ⋆) = −2(D − γ⋆J)⁻¹d + xs として正確に計算され、γ⋆ は関心のある物理的象限内の実数解として選別される。