[論文レビュー] On the Parameters of Convolutional Codes with Cyclic Structure

Heide Gluesing-Luerssen, Barbara Langfeld|ArXiv.org|Dec 3, 2003

Coding theory and cryptography参考文献 14被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、所望のパラメータを有する巡回畳み込み符号の完全な特徴付けと構成的手法を提供する。主に最小符号とその直和に焦点を当て、任意の指定されたフォーニー指数を、斜多項式環における単元を用いて実現するための必要十分条件を確立する。これにより、一般化されたシンジケート境界やグリスマー境界を満たすかそれを上回る距離性能を有する最適符号の構成が可能になる。

ABSTRACT

In this paper convolutional codes with cyclic structure will be investigated. These codes can be understood as left principal ideals in a suitable skew-polynomial ring. It has been shown in [3] that only certain combinations of the parameters (field size, length, dimension, and Forney indices) can occur for cyclic codes. We will investigate whether all these combinations can indeed be realized by a suitable cyclic code and, if so, how to construct such a code. A complete characterization and construction will be given for minimal cyclic codes. It is derived from a detailed investigation of the units in the skew-polynomial ring.

研究の動機と目的

• 巡回畳み込み符号の理論的に可能なパラメータの組み合わせ（体のサイズ、長さ、次元、フォーニー指数）がすべて実現可能かどうかを特定すること。
• 任意のフォーニー指数を有する最小巡回畳み込み符号を構成するための方法を開発すること。
• 直和による最小符号の直和を用いた非最小符号への拡張。
• 所望の成分次数を有する削減多項式が有効な巡回符号を生成できる条件を確立すること。
• 斜多項式イデアルの文脈において、生成多項式の構造と符号距離の関係を調査すること。

提案手法

• 畳み込み符号を、$ A = \mathbb{F}[x]/\langle x^n - 1 \rangle $ における斜多項式環 $ A[z;\sigma] $ の左主イデアルとしてモデル化する。
• 斜多項式環の単元群を用いて、所望のフォーニー指数を有する生成多項式による最小巡回符号の特徴付けと構成を行う。
• 直和構成において、直交する生成多項式の概念を適用し、結果として得られる符号が直和成分であり、かつ巡回構造を保つことを保証する。
• 巡回行列を用いて、イデアル論的記述を $ \mathbb{F}_q[z] $ 上の多項式ベクトル符号に翻訳する。
• 自己同型 $ \sigma $ のサイクルインデックスにおける剰余算を用いて、生成多項式の削減性を強制し、サポート成分の重複がないようにする。
• 最小距離を一般化されたシンジケート境界およびグリスマー境界と比較することにより、符号の最適性を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 理論的制約によって許容されるパラメータの組み合わせ（体のサイズ、長さ、次元、フォーニー指数）が、すべて巡回畳み込み符号によって実現可能かどうか。
• RQ2 与えられたフォーニー指数を有する最小巡回畳み込み符号が存在するための必要十分条件は何か。
• RQ3 直交する生成多項式を有する最小符号の直和をどのように構成すれば、結果として得られる符号が巡回的であり、明確な生成構造を持つのか。
• RQ4 斜多項式環の構造および自己同型 $ \sigma $ が、削減された生成多項式の成分の次数にどのような制限を課えるか。
• RQ5 $ \sigma $-巡回符号の最小距離は、その生成多項式の性質からどの程度まで予測可能か。

主な発見

• 理論的制約 [3] によって許容される巡回畳み込み符号のパラメータのすべての組み合わせは、フォーニー指数に関する必要十分条件を満たせば実現可能である。
• 任意の指定されたフォーニー指数を有する最小巡回畳み込み符号が存在するための必要十分条件は、自己同型 $ \sigma $ のサイクル分解に関連する特定の条件を満たすことである。
• Corollary 3.7 (2) を根拠として、斜多項式環における単元を用いた構成的手法により、任意のフォーニー指数を有する最小符号を生成可能である。
• 互いに直交する生成多項式を有する最小符号の直和は、$ \sigma $-巡回符号を生成し、そのパラメータは成分のパラメータの和集合となる。このような符号は、イデアル構造において直和成分である。
• 構成された符号は最適な距離性能を達成する。例として、$ \mathbb{F}_8 $ 上のパラメータ (7,2,4) に対して距離21を達成する符号が存在し、一般化されたシンジケート境界に達している。別の例では、グリスマー境界に達する距離18の符号が構成された。
• 削減された生成多項式における成分多項式の次数のすべての組み合わせが可能であるとは限らないことが示された。特に、複数の成分が同じ $ \sigma $-サイクルに属する場合には、係数における剰余制約のため、制限が生じる。