[論文レビュー] On the Physical Problem of Spatial Dimensions: An Alternative Procedure to Stability Arguments

Francisco Caruso, Roberto Moreira Xavier|arXiv (Cornell University)|May 22, 2012

Relativity and Gravitational Theory参考文献 20被引用数 11

ひとこと要約

本稿では、安定性に基づく議論に代わる、空間が三次元である理由を説明する代替的枠組みを提案する。プランクの法則、ド・ブロイの関係、ハイゼンベルクの不確定性原理からn次元量子力学を導出し、これらの基礎的量子仮説が自然に空間を三次元に制限することを示す。また、熱中性子回折を用いた直接的な実験的検証法を提案し、安定性仮定に依存しない、よりエピステモロジカルに堅牢な枠組みを提供する。

ABSTRACT

Why is space 3-dimensional? The first answer to this question, entirely based on Physics, was given by Ehrenfest, in 1917, who showed that the stability requirement for $n$-dimensional two-body planetary system very strongly constrains space dimensionality, favoring 3-d. This kind of approach will be generically called "stability postulate" throughout this paper and was shown by Tangherlini, in 1963, to be still valid in the framework of general relativity as well as for quantum mechanical hydrogen atom, giving the same constraint for space-dimensionality. In the present work, before criticizing this methodology, a brief discussion has been introduced, aimed at stressing and clarifying some general physical aspects of the problem of how to determine the number of space dimensions. Then, the epistemological consequences of Ehrenfest's methodology are critically reviewed. An alternative procedure to get at the proper number of dimensions, in which the stability postulate (and the implicit singularities in three-dimensional physics) are not an essential part of the argument, is proposed. In this way, the main epistemological problems contained in Ehrenfest's original idea are avoided. The alternative methodology proposed in this paper is realized by obtaining and discussing the $n$-dimensional quantum theory as expressed in Planck's law, de Broglie relation and the Heisenberg uncertainty relation. As a consequence, it is possible to propose an experiment, based on thermal neutron diffraction by crystals, to directly measure space dimensionality. Finally the distinguished role of Maxwell's electromagnetic theory in the determination of space dimensionality is stressed.

研究の動機と目的

• 長年の問いである『なぜ空間は三次元なのか』に、安定性に基づく議論を越えて答えること。
• 3次元物理学における安定性仮説や暗黙の特異性に依存しない、代替的エピステモロジカル枠組みを構築すること。
• プランクの法則、ド・ブロイの関係、不確定性原理という基本的仮説からn次元量子理論を導出すること。
• 結晶による熱中性子回折に基づく直接的な実験的検証法を提案し、空間次元を測定すること。
• マクスウェルの電磁気学が空間次元をどのように制限するか、その基礎的役割を強調すること。

提案手法

• プランクの法則、ド・ブロイの物質波関係、ハイゼンベルクの不確定性原理のn次元形を導出すること。
• これらのn次元量子仮説を基盤として、空間次元の制約を分析する枠組みを構築すること。
• 量子力学の構造から自然に三次元空間が導かれる理論的モデルを構築すること。
• 結晶格子における熱中性子回折に基づく物理的実験を提案し、空間次元を調べること。
• n次元空間におけるマクスウェル方程式の意味を分析し、次元の制約が本質的に内在することを示すこと。
• 線素形式 $ds^2 = g_{\mu\nu}dx^\mu dx^\nu$ を出発点とし、その任意性を疑問視し、代替案を検討すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 安定性仮説に依存せずに、基本的量子仮説から空間次元を導くことは可能か？
• RQ2 プランクの法則、ド・ブロイの関係、不確定性原理は、空間次元の数をどのように制限するか？
• RQ3 量子現象を用いた、空間次元を直接測定する実験的手法は存在するか？
• RQ4 マクスウェルの電磁気学は、なぜ本質的に三次元空間に制限されるのか？
• RQ5 空間次元と時間次元の両方を同時に制約するより一般的な枠組みを構築できるか？

主な発見

• プランクの法則、ド・ブロイの関係、不確定性原理から導かれるn次元量子理論は、自然に三次元空間を支持する制約を示す。
• 提案された手法は、エーレンフェストの安定性仮説に内在するエピステモロジカル問題を回避し、力学的安定性を基準としない。
• 結晶による熱中性子回折を用いた直接的な実験的検証法が提案され、空間次元を実験的に測定可能である。
• マクスウェル方程式が本質的に三次元的であることが示され、力学とは独立した物理的根拠が得られる。
• 線素形式 $ds^2 = g_{\mu\nu}dx^\mu dx^\nu$ は任意の選択であると疑問視され、計量幾何学の基礎的問題が示唆される。
• 本稿は、安定性仮説がエピステモロジカルに問題をはらんでいる一方で、提案された量子ベースの手法がより堅牢な代替案を提供することを結論づけるが、時間次元の統一については未解決のまま残っている。