[論文レビュー] On the possibility of simple parallel computing of Voronoi diagrams and Delaunay graphs

Daniel Reem|arXiv (Cornell University)|Dec 4, 2012

Computational Geometry and Mesh Generation参考文献 51被引用数 6

ひとこと要約

本論文は、線形計画法と光学の概念にインspiredされた手法を用いて、各ボロノイ胞を独立して処理することにより、自然に並列的にボロノイ図とデローラン図を計算する、革新的な組み合わせ的アルゴリズムを提示する。この手法により、並列計算が効率的に行え、凸ポリトープおよびその双対であるデローラン図のための新しい組み合わせ的表現が導入される。

ABSTRACT

Abstract. The Voronoi diagram is a widely used data structure. The theory of algorithms for computing Euclidean Voronoi diagrams of point sites is rich and useful, with several different and important algorithms. However, this theory has been quite steady during the last few decades in the sense that new algorithms have not entered the game. In addition, most of the known algorithms are sequential in nature and hence cast inherent difficulties on the possibility to compute the diagram in parallel. This paper presents a new and simple algorithm which enables the (combinatorial) computation of the diagram. The algorithm is significantly different from previous ones and some of the involved concepts in it are in the spirit of linear programming and optics. Parallel implementation is naturally supported since each Voronoi cell can be computed independently of the other cells. A new combinatorial structure for representing the cells (and any convex polytope) is described along the way and the computation of the induced Delaunay graph is obtained almost automatically.

研究の動機と目的

• 従来のアルゴリズムが主に逐次的であったため、ボロノイ図計算の並列化という長年の課題に取り組むこと。
• セルの独立的計算を可能にする新しい組み合わせ的枠組みを考案し、ボロノイ胞と凸ポリトープを表現すること。
• ボロノイ図およびデローラン図の構築を自然かつ効率的に並列実装できることを実現すること。
• デローラン図が計算されたボロノイ構造からほとんど自動的に導出できることを示すこと。

提案手法

• アルゴリズムは、線形計画法および光学の概念にインspiredされた組み合わせ的・幾何的原則を活用して、各ボロノイ胞を独立に計算する。
• 凸ポリトープを表現する新しい組み合わせ的構造を導入し、ボロノイ胞の符号化を容易にする。
• デローラン図が計算されたボロノイ構造から自然に現れる双対表現を採用する。
• 従来の分割統治法やスイープ線法のような逐次的手順を避け、代わりに独立したセル処理に依存する。
• 各サイトのボロノイ胞が独立して計算可能であるようにアルゴリズムを設計しており、真の並列性を実現する。
• 背後にある数学的枠組みは、光の波面伝搬と線形計画法の双対性に類似している。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ボロノイ図を、逐次的前処理に依存せずに根本的に並列的に計算できるか？
• RQ2 セルの独立的計算と効率的な並列化を可能にするボロノイ胞の組み合わせ的表現は存在するか？
• RQ3 計算されたボロノイ構造から、直接的かつ自動的にデローラン図を導出できるか？
• RQ4 線形計画法と光学の概念は、新しいボロノイアルゴリズムの基盤として有効であるか？

主な発見

• 提案されたアルゴリズムにより、各セルの独立処理が可能となり、組み合わせ的ボロノイ図計算が自然な並列性を伴って実現される。
• 凸ポリトープのための新しい組み合わせ的構造が導入され、ボロノイ胞の表現および計算が簡素化される。
• デローラン図は、ボロノイ胞の計算の副産物として、双対性のおかげでほとんど自動的に得られる。
• 従来のアルゴリズムとは著しく異なり、逐次的または増分的な構築手順を避ける。
• アルゴリズムの概念的基盤は線形計画法と光学に由来し、ボロノイ図計算に新たな視点を提供する。