[論文レビュー] On the Power of Random Bases in Fourier Sampling: Hidden Subgroup Problem in the Heisenberg Group

Jaikumar Radhakrishnan, Martin Roetteler+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 11, 2005

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 13被引用数 17

ひとこと要約

本稿は、有限ヒルベルト群における隠れ部分群問題（HSP）を、量子フーリエ変換の後、ランダムな正規直交基底で測定するランダムな強力フーリエサンプリングによって、効率的に解くことができることを示している。$ r(G) = \Omega(1) $ のとき、$ O((\log|G|/r(G))^{2}) $ 回の反復で十分であり、ヒルベルト群に対して $ r({\cal H}_p) = \Omega(1) $ を示しており、明示的な基底が未知であるにもかかわらず、古典的後処理を伴う多項式時間の量子アルゴリズムが得られ、これはそのような例としては初めてである。

ABSTRACT

The hidden subgroup problem (HSP) provides a unified framework to study problems of group-theoretical nature in quantum computing such as order finding and the discrete logarithm problem. While it is known that Fourier sampling provides an efficient solution in the abelian case, not much is known for general non-abelian groups. Recently, some authors raised the question as to whether post-processing the Fourier spectrum by measuring in a random orthonormal basis helps for solving the HSP. Several negative results on the shortcomings of this random strong method are known. In this paper however, we show that the random strong method can be quite powerful under certain conditions on the group G. We define a parameter r(G) for a group G and show that O((\log |G| / r(G))^2) iterations of the random strong method give enough classical information to identify a hidden subgroup in G. We illustrate the power of the random strong method via a concrete example of the HSP over finite Heisenberg groups. We show that r(G) = Ω(1) for these groups; hence the HSP can be solved using polynomially many random strong Fourier samplings followed by a possibly exponential classical post-processing without further queries. The quantum part of our algorithm consists of a polynomial computation followed by measuring in a random orthonormal basis. This gives the first example of a group where random representation bases do help in solving the HSP and for which no explicit representation bases are known that solve the problem with (\log G)^O(1) Fourier samplings. As an interesting by-product of our work, we get an algorithm for solving the state identification problem for a set of nearly orthogonal pure quantum states.

研究の動機と目的

• 非アーベルHSPにおける弱いフーリエサンプリングの制限をランダムな正規直交基底によるフーリエサンプリングが克服できるかどうかを調査すること。
• ランダムな強力フーリエサンプリングがHSPを解くために十分に強力になる条件を同定すること。
• ランダムな強力サンプリングの効果性を定量化する新しい群論的パラメータ $ r(G) $ を確立すること。
• 明示的な基底が既知でないにもかかわらず、ヒルベルト群がランダムな強力サンプリングによって効率的に解けることを示すこと。
• 副産物として、ほぼ直交する量子状態の識別問題を解くための量子アルゴリズムを提供すること。

提案手法

• ランダムな強力フーリエサンプリングによる部分群の区別可能性を測る新しい群パラメータ $ r(G) $ を導入すること。
• 既約表現 $ \rho $ に基づき、射影演算子のノルムとランク条件を用いて $ r(G; H_1, H_2; \rho) $ を定義すること。
• ヒルベルト群 $ {\cal H}_p $ を、その正規コア族を特徴付け、表現論を用いて $ r({\cal H}_p) $ を計算すること。
• 部分群に関連する射影演算子の作用素ノルムとランクを評価することで、$ r({\cal H}_p) = \Omega(1) $ を証明すること。
• パラメータ $ r(G) $ を用いて、必要なランダムな強力フーリエサンプリングの反復回数を $ O((\log|G|/r(G))^{2}) $ で抑えること。
• 量子フーリエ変換を $ {\cal H}_p $ 上で $ O(\log^3 p) $ ゲートで実装し、$ \tilde{O}(p^2) $ ゲートを用いてランダムな正規直交基底で測定すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 明示的な基底が効果的でない非アーベル群において、ランダムな強力フーリエサンプリングはHSPを解けるか？
• RQ2 ランダムな基底測定によってHSPの解に十分な情報を得られるような群論的条件は何か？
• RQ3 パラメータ $ r(G) $ は、ランダムな基底測定下での隠れ部分群の区別可能性とどのように関係するか？
• RQ4 ヒルベルト群は、ランダムな強力フーリエサンプリングを用いて多項式時間の量子アルゴリズムを満たすか？
• RQ5 ランダムな強力手法は、ほぼ直交する量子状態の識別問題を解くのに利用可能か？

主な発見

• ヒルベルト群 $ {\cal H}_p $ は $ r({\cal H}_p) = \Omega(1) $ を満たしており、ランダムな強力フーリエサンプリングがこの群に対して有効であることが証明された。
• ヒルベルト群 $ {\cal H}_p $ におけるHSPは、ランダムな強力フーリエサンプリングを $ O(\log p) $ 回の反復で解ける。
• 量子回路は $ O(\log^4 p) $ 個の基本ゲートを必要とし、QFTは $ O(\log^3 p) $ ゲートで実装される。
• 古典的後処理は $ \tilde{O}(p^4) $ 時間で実行され、部分群上の確率分布の計算が主な計算負荷を占める。
• ランダムな基底選択に対して、追加のクエリなしで成功確率が少なくとも $ 2/3 $ に達する。
• 副産物として、ランダムな強力測定を用いたほぼ直交する量子状態の識別を効率的に行うアルゴリズムが得られた。